Понятие предельных циклов ввел Пуанкаре, создавая качественную теорию дифференциальных уравнений. Он занимался задачей n тел, не решенной до сих пор. Уже тогда, в конце XIX века, становилось понятно, что обычно найти решение дифференциального уравнения в явном виде нельзя. Основная идея Пуанкаре состояла в том, чтобы исследовать свойства решений, не находя их. Прежде всего его интересовала асимптотика решений, т.е. их поведение при больших временах.
Одной из самых известных задач в этой области, мотивировавшей многочисленные исследования в течение уже более чем века, является 16-я проблема Гильберта, а точнее вторая ее часть. В ней требуется найти верхние оценки на число предельных циклов полиномиальных векторных полей на плоскости. 16-я проблема не решена до сих пор, даже в случае квадратичных векторных полей.
В этом курсе мы пройдем путь от классических теорем Пуанкаре, Андронова и Понтрягина до самых свежих результатов и открытых задач.

Программа курса

1. Введение. Векторные поля и поля направлений на плоскости и на сфере. Особые точки, предельные циклы и полициклы
2. Теория Пуанкаре–Бендиксона
3. Теорема Андронова–Понтрягина
4. Уравнение Ван Дер Поля
5. Квадратичные векторные поля
6. 16-я проблема Гильберта: исторический обзор. Теорема конечности Ильяшенко и Экаля. Стратегия Руссари
7. Теорема о нулях и росте голоморфных функций
8. Проблема Гильберта-Смейла. Уравнения Льенара
9. Примеры локальных и нелокальных бифуркаций с рождением предельных циклов
10. $^*О$-минимальная геометрия. Теорема Габриэлова

Руководитель
Колюцкий Григорий Аркадьевич

Организации
Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук, г. Москва
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва