Данный курс представляет собой доступное введение в неклассические логики. Традиционно всякая логика, отличная от классической, называется «неклассической». Существует много разнообразных неклассических логик, которые применяются в основаниях математики, информатике, формальной философии и эпистемологии, лингвистике и т.д. Практически невозможно дать обзор большинства из них в рамках одного курса. Поэтому вместо того, чтобы пытаться рассмотреть настолько много логик, насколько возможно, мы сосредоточимся на определённых фундаментальных вопросах и методах, связанных с неклассическими логиками. Более того, хотя существуют различные виды семантики для неклассических логик, нас будет в основном интересовать так называемая семантика Крипке, также известная как реляционная семантика или семантика возможных миров. Этот вид семантики адекватным образом отражает интуицию, стоящую за большинством неклассических логик, и имеет динамический характер: здесь в основе структур лежат множества «миров», или «информационных состояний», связанных между собой посредством «отношений достижимости».

Особое место в данном курсе занимают интуиционистская логика и (классическая) модальная логика, обозначаемые через $\mathsf{Int}$ и $\mathsf{K}$ соответственно:

— Поведение связки импликации в $\mathsf{Int}$ сильно отличается от поведения классической, «материальной» импликации. На самом деле, интуиционистская импликация имеет более конструктивный и в определённом смысле интуитивный характер. Так, в $\mathsf{Int}$ исчезают многие из так называемых парадоксов классической импликации.

— В языке $\mathsf{K}$, помимо символов языка классической логики, присутствуют дополнительные символы модальных операторов «необходимо, что» и «возможно, что»; при этом немодальные логические символы ведут себя классически. Таким образом, $\mathsf{K}$ обогащает классическую логику, не меняя смысла стандартных связок. Модальные операторы играют ключевую роль в применениях формальной логики в информатике и лингвистике. Например, в естественном языке оператору «возможно, что» соответствует модальный глагол «мочь»: грубо говоря, предложение «Он может написать книгу» равносильно предложению «Возможно, что он напишет книгу».

Интуиционистская и модальная логики оказываются сильно полны относительно подходящей семантики возможных миров. Кроме того, проблемы выполнимости для них алгоритмически разрешимы, хотя это доказывается куда сложнее, чем в случае пропозициональной классической логики.

Расписание на весенний семестр 2023/2024 учебного года:

Время занятий: среда 10:00 – 11:25

Первое занятие: 14 февраля

Лектор
Сперанский Станислав Олегович

Организации
Московский физико-технический институт (государственный университет), г. Долгопрудный, Московская обл.
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Математический центр мирового уровня «Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук» (МЦМУ МИАН)