В области чистой математики: исследование сингулярностей в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, динамических системах, дифференциальной геометрии, вариационном исчислении и оптимальном управлении. В последнее время основная тема работы — особенности геодезических потоков в псевдоримановых пространствах с метриками переменной сигнатуры. Обнаружено, в частности, что геодезические линии не могут выходить из точки вырождения метрики в произвольных касательных направлениях, а только в определенных допустимых направлениях. В случае общего положения при размерности два число допустимых направлений конечно и варьируется от одного до трех, а если размерность больше двух, число допустимых направлений может быть как конечным, так и бесконечным. Обзор результатов о сингулярностях геодезических потоков в двумерном случае: https://arxiv.org/pdf/1801.09815.pdf
В области прикладной математики: восстановление поврежденных изображений математическими методами (это направление развивалось в сотрудничестве с французско-итальянской исследовательской группой Ecole Polytechnique). Примеры восстановлений: https://arxiv.org/pdf/1502.07331.pdf
Основные публикации:
А. О. Ремизов, “Геодезические на двумерных поверхностях с псевдоримановой метрикой: особенности смены сигнатуры”, Матем. сб., 200:3 (2009), 75–94
И. Р. Шафаревич, А. О. Ремизов, Линейная алгебра и геометрия, Физматлит, М., 2009
R. Ghezzi, A. O. Remizov, “On a class of vector fields with discontinuities of divide-by-zero type and its applications to geodesics in singular metrics”, J. Dyn. Control Syst., 18:1 (2012), 135–158
A. O. Remizov, “On the local and global properties of geodesics in pseudo-Riemannian metrics”, Differential Geometry and its Applications, 39 (2015), 36–58
A. O. Remizov, F. Tari, “Singularities of the geodesic flow on surfaces with pseudo-Riemannian metrics”, Geometriae Dedicata, 185:1 (2016), 131–153
