Специальность ВАК:
01.01.04 (геометрия и топология)
Дата рождения:
23.09.1955
E-mail: ,
Ключевые слова: особенности выпуклых оболочек,
каустик и волновых фронтов,
глобальная теория особенностей,
многомерные обобщения теоремы о $4$-х вершинах.
Коды УДК: 515.16, 515.164.15, 514.75, 514.172 Коды MSC: 58K, 57R45, 57R17, 53A04, 53A07, 53A20, 51L15, 32S20, 14E15
Основные темы научной работы:
Особенности выпуклой оболочки гладкой замкнутой кривой общего положения в $\mathbb{R}^3$ расклассифицированы относительно диффеоморфизмов объемлющего пространства. Доказано, что особенности выпуклых оболочек кривых в $\mathbb{R}^4$, а также $k$-мерных подмногообразий в $\mathbb{R}^n$ при $k\geq 1, n\geq 5$ имеют функциональные модули, неустранимые малой деформацией многообразия. Получено трехмерное обобщение классической теоремы о $4$-х вершинах: “Всякая $C^3$-вложенная замкнутая кривая в $\mathbb{R}^3$, имеющая всюду ненулевую кривизну и лежащая на границе своей выпуклой оболочки, имеет не менее $4$-х геометрически различных точек нулевого кручения”. Найдены новые инварианты допустимых по Арнольду гомотопий замкнутой кривой в $\mathbb{R}P^3$. Построено соответствие между (лагранжевыми) особенностями огибающей семейства нормалей к подмногообразию в $\mathbb{R}^n$ и (лежандровыми) особенностями множества касательных гиперплоскостей к его стереографическому образу в $\mathbb{R}^{n+1}$ (симплектическое обобщение леммы Кнезера о точках уплощения сферических кривых в $\mathbb{R}^3$). Вычислены индексы примыкания особенностей волнового фронта общего положения в пространстве размерности не выше $6$. Доказано, что каждая связная компонента многообразия мультиособенностей любого данного типа у ростка образа лагранжева отображения с моноособенностью типа $D_\mu$ либо стягиваема, либо гомотопически эквивалентна окружности; вычислено количество компонент каждого вида. Разработана конструкция разрешения устойчивых мультиособенностей коранга $1$ в образе гладкого отображения замкнутого многообразия в пространство той же или большей размерности, обобщающая принцип итерации Клеймана: вместо циклов кратных точек рассматриваются циклы произвольных мультиособенностей. В качестве следствия получены полные системы универсальных линейных соотношений с вещественными коэффициентами между эйлеровыми характеристиками многообразий мультиособенностей в образе устойчивого отображения (произвольного гладкого, лагранжева или лежандрова), имеющего лишь особенности коранга $1$. Найдены многомерные обобщения формулы Бозе, согласно которой число опорных окружностей кривизны выпуклой замкнутой кривой общего положения в $\mathbb{R}^2$ на $4$ больше числа опорных окружностей, касающихся кривой в трех точках. А именно, числа опорных гиперсфер разных типов, имеющих $(2n+1)$-й порядок касания с выпуклой замкнутой кривой общего положения в $\mathbb{R}^{2n}$, связаны универсальным линейным соотношением, коэффициенты которого определяются числами Каталана $c_k,k\leq n$.
Основные публикации:
В. Д. Седых, “Теорема о четырех вершинах выпуклой пространственной кривой”, Функц. анализ и его прилож., 26:1 (1992), 35–41.
В. Д. Седых, “Соотношения между эйлеровыми характеристиками многообразий особенностей коранга 1 фронта общего положения”, Докл. РАН, 383:6 (2002), 735–739.
В. Д. Седых, “Разрешение особенностей коранга 1 фронта общего положения”, Функц. анализ и его прилож., 37:2 (2003), 52–64.
В. Д. Седых, “Разрешение особенностей коранга 1 образа устойчивого гладкого отображения в пространство большей размерности”, Изв. РАН. Сер. матем., 71:2 (2007), 173–222.
В. Д. Седых, “О топологии волновых фронтов в пространствах небольших размерностей”, Изв. РАН. Сер. матем., 76:2 (2012), 171–214.
