| RUS ENG |
| Полная версия |
|
|
|
| ПЕРСОНАЛИИ |
| Качуровский Александр Григорьевич |
|
| доктор физико-математических наук (2000) |
Доказано (1996), что степенная скорость сходимости в эргодической теореме фон Неймана эквивалентна степенной же, с тем же показателем степени, особенности в нуле спектральной меры усредняемой функции относительно соответствующей динамической системы. Тем самым показано, что оценки скорости сходимости в этой эргодической теореме с необходимостью являются спектральными.
Получены (1996; с 2010 – с учениками) оценки скоростей сходимости: в эргодической теореме фон Неймана – по особенности в нуле спектральной меры, и по скорости убывания корреляций (т.е. коэффициентов Фурье этой меры); в эргодической теореме Биркгофа – по скорости сходимости в теореме фон Неймана, и по скорости убывания вероятностей больших уклонений. Даны асимптотически точные оценки скоростей сходимости в обеих этих эргодических теоремах для некоторых известных бильярдов и систем Аносова.
Введен (1998) в рассмотрение новый стохастический процесс, содержащий эргодические средние и мартингалы как частные вырожденные случаи, для которого доказаны сходимость п.в. (дополнительное условие интегрируемости супремума модуля процесса было опущено учеником И.В. Подвигиным в 2010) и по норме, и справедливы максимальное и доминантное неравенства.
Показано (2018), что суммы Фейера мер на окружности и нормы отклонений от предела в эргодической теореме фон Неймана вычисляются фактически по одним и тем же формулам (интегрированием ядер Фейера) – так что сама эта эргодическая теорема является утверждением об асимптотике роста сумм Фейера в точке 0 соответствующей спектральной меры. Имеющиеся в литературе по гармоническому анализу многочисленные оценки уклонений сумм Фейера в точке позволили получить новые оценки скоростей сходимости в этой эргодической теореме.
Доказано (2019; с И.В. Подвигиным) существование справедливых п.в. оценок поточечной скорости сходимости в теореме Биркгофа (в эргодическом случае); получены критерии максимально возможной такой скорости сходимости.
