Специальность ВАК:
01.04.02 (теоретическая физика)
Дата рождения:
30.01.1952
Телефон: +7 (8312) 47 04 73
E-mail: Ключевые слова: обобщенные функции; сингулярные возмущения, теория рассеяния; спектральная теория операторов; индефинитная метрика; пространства Понтрягина и Крейна; самосопряженные расширения; линейные отношения; операторные представления голоморфных функций.
Коды УДК: 517, 517.5, 517.9, 517.43, 530.145
Коды MSC: 47B50, 47B25, 47A70, 81Q10, 81Q15
Основные темы научной работы:
Исследована задача о самосопряженной реализации в пространстве с индефинитной метрикой для сильно сингулярных возмущений дифференциального оператора. Таковыми являются, например, точечное возмущение Лапласиана в ${\bf R}^n$ при $n\ge 4$, а также точечно-подобные возмущения, действующие в подпространствах с ненулевым угловым моментом. Для возмущений с носителем в конечном числе точек было дано решение этой задачи в терминах канонических самосопряженных расширений некоторого симметрического оператора в подходящем пространстве Понтрягина $\Pi_\kappa$, отрицательный индекс $\kappa$ которого определяется по порядку и рангу сингулярного возмущения. Возникающий здесь симметрические операторы вполне характеризуются обобщенными неванлинновскими функциями $Q(z)$ вида $Q(z)=(z^2+1)^{\kappa}Q_0(z)+P_{2kappa-1}(z)$, где $Q_0(z)$ суть некоторая неванлинновская матрица-функция и $P_{2kappa-1}(z)$ — самосопряженный полиномиальный пучок степени не выше $2\kapa-1$. Такие обобщенные неванлинновские функции и их операторные представления играют ключевую роль в нашем методе реализации. Более детальная теория была развита (совместно с А. Дайксма, Г. Лангером, А. Лутер и К. Цейнстра) для сингулярных возмущений единичного ранга. Здесь, в частности, был описан алгоритм, позволяющий произвести разделение спектров положительного и неположительного типов. В качестве побочного результата была установлена новая факторизация обобщенных неванлинновских функций. Было показано как такая факторизация приводит к подходящему гамильтониану в индуцированном гильбертовом пространстве. Как обобщение последнего результата была доказана факторизация произвольной обобщенной неванлинновской функции из класса $N_\kappa$ в произведение рационального фактора Бляшке и некоторой неванлинновской функции из $N_0$.
Основные публикации:
Шондин Ю. Г. Квантово-механические модели в $R^n$, ассоциированные с расширением оператора энергии в пространстве Понтрягина // Теоретическая и математическая физика. 1988. Т. 74. № 3. С. 331–344.
Шондин Ю. Г. Возмущения на тонких множествах высокой коразмерности эллиптических операторов и теория расширений в пространстве с индефинитной метрикой // Записки научных семинаров ПОМИ. Т. 222. Исследования по линейным операторам и теории функций. 23. 1995. С. 246–292.
Шондин Ю. Г. Сингулярные возмущения нечетного оператора в $Z_2$-градуированном пространстве // Математические заметки. 1999. Т. 66. вып. 6. С. 924–940.
Dijksma A., Langer H., Luger A., Shondin Yu. A factorization result for generalized Nevanlinna functions of the class $N_\kappa$ // Integral Equations and Operator Theory. 2000. V. 36. P. 121–125.
Dijksma A., Langer H., Shondin Yu., Zeinstra C. Self-adjoint operators with inner singularities and Pontryagin spaces // Operator Theory: Adv. Appl. V. 118. Birkhauser Verlag, Basel, 2000. P. 105–175.
