Специальность ВАК:
01.01.01 (вещественный, комплексный и функциональный анализ)
Дата рождения:
09.09.1971
E-mail: Ключевые слова: преобразование Фурье; интеграл Фурье; мультипликаторы Фурье; классы Харди; гармонический анализ в трубчатых областях над открытыми конусами; аппроксимация операторами; аппроксимация целыми функциями; целые функции конечной полустепени; наилучшие константы в теории аппроксимации; модули гладкости.
Основные темы научной работы:
Введены определения преобразования Фурье и мультипликатора в пространствах Харди $H^p$, $p\in(0,1)$, в трубчатых областях над открытыми конусами, полностью согласующиеся с классическими определениями. Согласно введенному определению, преобразованием Фурье функции $f$, заданной в трубчатой области $T_\Gamma\subset{\Bbb C}^n$ над открытым конусом $\Gamma\subset{\Bbb R}^n$, является следующая функция, определенная при любом $t\in{\Bbb R}^n$: $\widehat{f}(t):=e^{2\pi(t,\delta)}\widehat{f_\delta}(t)$. Здесь $\delta\in\Gamma$ может выбираться произвольно, а функция $f_\delta(\cdot):=f(\cdot+i\delta)$ принадлежит $L_1({\Bbb R}^n)$ при любом таком $\delta$. Установлено, что носителем преобразования Фурье функции $f\in H^p(T_\Gamma)$, $p\in(0,1]$, является сопряженный конус $\Gamma^*$ и получена формула обращения: $f(z)=\int_{\Gamma^*}\widehat{f}(t)e^{2\pi i(z,t)}\,dt$ $\forall z\in T_\Gamma$. Получены эффективные достаточные условия для того, чтобы функция, заданная на сопряженном конусе, была мультипликатором из $H^p$ в $H^p$ при $p\in(0,1]$. Полученные достаточные условия применены к решению нескольких задач теории аппроксимации. В частности, введены некоторые специальные модули гладкости, используемые для получения оценок скорости приближения функции средними ее интеграла Фурье, и доказана их эквивалентность. Получено решение классической задачи о поточечном приближении гладкой функции на вещественной полуоси целыми функциями конечной полустепени с точной константой в главном члене оценки скорости приближения: Пусть $f\in W^r({\Bbb R}_+)$, $r\in{\Bbb N}$. Тогда для любого $\sigma>0$ найдется целая функция $g_\sigma$ конечной полустепени не выше $\sigma$, для которой $|f(x)-g_\sigma(x)|\le {2^rK_r\over{\sigma^r}}x^{r/2}+{\gamma\over{\sigma^{r+1}}}x^{(r-1)/2}$ $\forall x\ge 0$. Здесь $\gamma$ — некоторая положительная константа, зависящая лишь от $r$, а константу $2^rK_r$, вообще говоря, уменьшить нельзя.
Основные публикации:
Товстолис А. В. Мультипликаторы в пространствах Харди $H^p(T_\Gamma)$ при $p\in(0,1]$ и их применение в теории аппроксимации // Докл. НАН Украины, 1997, 5, 49–53.
Tovstolis A. V. Fourier multipliers in Hardy spaces in tube domains over open cones and their applications // Methods of functional analysis and topology, 1998, 4(1), 68–89.
Товстолис А. В. Приближение гладких функций на полуоси целыми функциями конечной полустепени // Матем. заметки, 2001, 69(6), 934–943.
Товстолис А. В., Тригуб Р. М. Эквивалентность разных модулей гладкости в пространствах Харди // Теория аппроксимации функций. Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины, 1998, 3, 201–210.
