Специальность ВАК:
01.01.01 (вещественный, комплексный и функциональный анализ)
Дата рождения:
27.02.1939
E-mail: ,
Ключевые слова: теория представлений групп,
симметрические пространства,
гармонический анализ на однородных пространствах,
квантование,
канонические представления,
граничные представления.
Основные темы научной работы:
В серии моих работ (60–80-е годы) было начато и завершено построение гармонического анализа на полупростых симметрических пространствах $G/H$ (не римановых) ранга один. Дано описание соответствующей основной (неунитарной) серии представлений. Введены основные понятия этой теории ($H$-инварианты, преобразование Фурье, преобразование Пуассона, сферические функции) и разработаны соответствующие методы. Получена в явном виде формула Планшереля (в разных вариантах, один из них — разложение дельта-функции по сферическим функциям). Предпринято перенесение квантований в смысле Березина с эрмитовых симметрических пространств на произвольные симплектические полупростые симметрические пространства. В частности, выделен важный случай квантований — так называемое полиномиальное квантование. Предложена новая форма деформационного разложения (разложения преобразования Березина), использующая "обобщенные степени" (обобщенные символы Похгаммера) вместо обычных степеней параметра. Эта форма делает разложение естественным и прозрачным и позволяет вычислять его явно. В связи с построением квантований были изучены канонические представления на указанных симплектических пространствах (разложения на неприводимые составляющие mdash; вплоть до явных формул для пространств ранга один). Канонические представления (иногда называемые представлениями Березина) на эрмитовых симметрических пространствах были введены Березиным и Вершиком–Гельфандом–Граевым. Это — унитарные представления. Мы рассматриваем канонические представления в значительно более широком смысле: мы отказываемся от условия унитарности, они действуют в достаточно широких функциональных пространствах, в частности, в пространствах обобщенных функций. Были также изучены граничные представления, порождаемые каноническими представлениями. В частности, обнаружено появление жордановых клеток в разложении этих представлений. Отмечено, что разложение граничных представлений тесно связано с мероморфной структурой преобразований Пуассона и Фурье, ассоциированных с каноническими представлениями. Эти результаты (квантования, канонические и граничные представления) могут быть перенесены на некоторые полупростые симметрические пространства, не являющиеся симплектическими, например, на гиперболоиды произвольной сигнатуры. Эта деятельность (квантования, канонические и граничные представления и т. д.) является частью так называемой неунитарной версии гармонического анализа — нового и многообещающего поля исследований. Для гиперболоидов эрмитова типа исследована голоморфная дискретная серия, вычислены ядра Коши–Сеге, найдены явно проекционные операторы на аналитическую и антианалитическую серии неприводимых унитарных представлений, введен и вычислен аналог преобразования Гильберта. Один из результатов — разделение серий — обобщен на гиперболоиды произвольной сигнатуры. Для конечных групп, порожденных отражениями, вычислены явно многочлены и ряды Пуанкаре.
Основные публикации:
Молчанов В. Ф. Гармонический анализ на однородных пространствах // Итоги науки и техн. Сер. совр. пробл. матем. Фундам. напр. ВИНИТИ, 1990, 59, 5–144. Engl. transl.: Harmonic analysis on homogeneous spaces // Encycl. Math. Sci., 59, Springer–Verlag, 1995, 1–135.
Molchanov V. F. Quantization on para-Hermitian symmetric spaces // Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, vol. 175. (Adv. Math. Sci., 31), 1996, 81–96.
Молчанов В. Ф. Разделение серий для гиперболоидов // Функц. анализ и его прил., 1997, 31, № 31, 35–43. Engl. transl.: Separation series for hyperboloids // Funct. Anal. Appl., 1997, 31, no. 3, 176–182.
Dijk. G. van, Molchanov V. F. The Berezin form for rank one para-Hermitian symmetric spaces // J. Math. Pures Appl., 1998, 77, no. 8, 747–799.
Dijk. G. van, Molchanov V. F. Tensor products of maximal degenerate series representations of the group $SL(n,\Bbb R)$ // J. Math. Pures Appl., 1999, 78, no. 1, 99–119.
