| RUS ENG |
| Полная версия |
|
|
|
| ПЕРСОНАЛИИ |
| Кузнецов Дмитрий Феликсович |
|
| доктор физико-математических наук (2003) |
Разработан метод Фурье применительно к численному интегрированию стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) Ито$,$ СДУ скачкообразно-диффузионного типа$,$ а также к численному интегрированию некоммутативных полулинейных СДУ с частными производными и нелинейным мультипликативным пространственно-временным шумовым возмущением (в рамках полугруппового подхода или подхода$,$ основанного на так называемом мягком решении)$.$ А именно$,$ применены обобщенные кратные ряды Фурье (сходящиеся в смысле нормы в гильбертовом пространстве $L_2([t,\hspace{0.2mm} T]^k),$ $k\in \mathbb {N}$) по произвольным полным ортонормированным системам функций в пространстве $L_2([t,\hspace{0.2mm} T]^k),$ $k\in \mathbb {N}$ к разложению и сильной (среднеквадратической$,$ в среднем степени $p$ $(p>0),$ а также с вероятностью $1$) аппроксимации повторных стохастических интегралов Ито вида \begin{equation} \label{1} \int\limits_t^T\psi_k(t_k)\ \ldots \int\limits_t^{t_{2}} \psi_1(t_1) d{\bf W}_{t_1}^{(i_1)}~ \ldots~ d{\bf W}_{t_k}^{(i_k)}, \end{equation} где $k\in \mathbb {N},\ $ $\psi_{1}(\tau),\ldots,\psi_k(\tau)\in L_2[t, T],$ ${\bf W}_{\tau}\in \mathbb{R^m}$ $-$ стандартный винеровский процесс c независимыми компонентами $\ {\bf W}_{\tau}^{(i)}$ $(i=1,\ldots,m),\ $ ${\bf W}_{\tau}^{(0)}:=\tau,\ $ $i_1,\ldots,i_k$ $=$ $0,\ 1,\ldots,m.$
Установлена взаимосвязь указанного разложения с кратными стохастическими интегралами Винера относительно компонент многомерного винеровского процесса и многочленами Эрмита от векторного случайного аргумента. Вычислена точно среднеквадратическая погрешность аппроксимации повторных стохастических интегралов Ито вида $(1)$ произвольной кратности $k,\ $ $k\in\mathbb{N}$ для всех возможных сочетаний индексов $i_1,\ldots, i_k \in\{1,\ldots, m\}$ в рамках данного подхода.
Сформулирована и доказана теорема о сходимости с вероятностью $1$ разложений повторных стохастических интегралов вида $(1)$ произвольной кратности $k\in\mathbb{N}$ для случая $\psi_{1}(\tau),\ldots,\psi_k(\tau)\in C^1[t,T],$ а также кратных рядов Фурье-Лежандра и кратных тригонометрических рядов Фурье, сходящихся в смысле нормы в пространстве $L_2([t,\hspace{0.2mm} T]^k),$ $k\in \mathbb {N}.$ Найдена скорость сходимости в этой теореме.
Произведено обобщение указанного метода Фурье для полных ортонормированных с весом $\ r(t_1) \ldots r(t_k)$ систем функций в пространстве $L_2([t,\hspace{0.2mm} T]^k),$ $k\in \mathbb {N},$ а также для некоторых других типов повторных стохастических интегралов (повторных стохастических интегралов по мартингальным пуассоновским мерам и повторных стохастических интегралов по мартингалам)$.$
Отмеченные выше результаты адаптированы при специальном условии на следовые ряды для повторных стохастических интегралов Стратоновича вида \begin{equation} \label{2} \int\limits_t^T\psi_k(t_k)\ \ldots \int\limits_t^{t_{2}} \psi_1(t_1)\hspace{0.3mm} \circ d{\bf W}_{t_1}^{(i_1)}\ \ldots\hspace{0.5mm} \circ d{\bf W}_{t_k}^{(i_k)}, \end{equation} где $k\in \mathbb {N},\ $ $\psi_{1}(\tau),\ldots,\psi_k(\tau)\in L_2[t,T],$ ${\bf W}_{\tau}\in \mathbb{R^m}$ $-$ стандартный винеровский процесс c независимыми компонентами $\ {\bf W}_{\tau}^{(i)}$ $(i=1,\ldots,m),\ $ ${\bf W}_{\tau}^{(0)}:=\tau,\ $ $i_1,\ldots,i_k$ $=$ $0,\ 1,\ldots,m.$ Указанное выше условие на следовые ряды было снято в следующих трех случаях.
$1.$ Случай кратных рядов Фурье по полным ортонормированным системам многочленов Лежандра и тригонометрических функций (базис Фурье) в $L_2([t,\hspace{0.2mm} T]^k),$ а также $\psi_1(\tau),\ldots,\psi_k(\tau)\in C^1[t,T]$ $(k=1,\ldots,5),$ $\psi_1(\tau),\ldots,\psi_6(\tau)\equiv 1$ $(k=6)$. Найдена среднеквадратическая скорость сходимости разложений повторных стохастических интегралов Стратоновича для указанного случая $(k=1,\ldots,5).$
$2.$ Случай кратных рядов Фурье по произвольным полным ортонормированным системам функций в $L_2([t,\hspace{0.2mm} T]^k)$ и $\psi_1(\tau), \ \psi_2(\tau)\in L_2[t,T]$ $(k=1,\ 2),\ $ $\psi_1(\tau), \ldots, \psi_k(\tau)$ $\in$ $C[t, T]\ $ $(k=3,\ 4,\ 5).$
$3.$ Случай кратных рядов Фурье по произвольным полным ортонормированным системам функций в $L_2([t,\hspace{0.2mm} T]^k)$ и $\psi_1(\tau), \ldots, \psi_k(\tau)$ $\in$ $C[t, T]\ $ $(k\in\mathbb{N})$ (https://arxiv.org/pdf/2003.14184v57, Разд. 2.31, Теорема 2.61).
Эти результаты могут быть интерпретированы как теоремы типа Вонга-Закаи о сходимости повторных интегралов Римана-Стилтьеса к повторным стохастическим интегралам Стратоновича. Сформулирована гипотеза о разложении повторных стохастических интегралов Стратоновича вида $(2)$ произвольной кратности $k\in \mathbb {N}$.
Сформулированы и доказаны две теоремы о разложении повторных стохастических интегралов Стратоновича вида $(2)$ произвольной кратности $k\in \mathbb {N},$ основанном на повторных рядах Фурье сходящихся поточечно.
Численное моделирование повторных стохастических интегралов Ито и Стратоновича вида $(1)$ и $(2)$ является одной из основных проблем на стадии численной реализации сильных численных методов высоких порядков точности для СДУ Ито и СДУ скачкообразно-диффузионного типа$.$
Метод Фурье для повторных стохастических интегралов Ито вида $(1)$ применен также к среднеквадратической аппроксимации повторных стохастических интегралов по бесконечномерному $Q\hspace{0.2mm}$-$\hspace{0.2mm}$винеровскому процессу$.$ В частности$,$ к среднеквадратической аппроксимации интегралов вида $$ \int\limits_{t}^{T} \Psi_k(Z) \left(\ldots \left(\hspace{0.2mm} \int\limits_{t}^{t_2} \Psi_1(Z) \psi_1(t_1) d{\bf W}_{t_1}({\bf x})\right) \ldots \right) \psi_k(t_k) d{\bf W}_{t_k}({\bf x}), $$ где $k\in \mathbb {N},$ ${\bf W}_{\tau}({\bf x})$ $-$ $U~$-$~$значный $Q~$-$~$винеровский процесс$,$ $Z:~ \Omega \rightarrow H$ $-$ ${\bf F}_t/{\cal B}(H)~$-$~$измеримое отображение$,$ $\Psi_k(v) (\hspace{1.6mm} \ldots \hspace{0.8mm}( \Psi_1(v) )\hspace{0.8mm} \ldots \hspace{1.6mm})$ $-$ $k~$-$~$линейный оператор Гильберта-Шмидта$,$ действующий из $\ \ U_0~\times~\ldots~\times~U_0\ \ $ в $\ H\ $ для всех $\ v\in H,\ $ $\psi_1(\tau),\ldots,\psi_k(\tau)\in L_2[t,T],\ $ $Q:~U \rightarrow U$ $-$ оператор с конечным следом$,$ $\hspace{0.2mm}$ $U,$ $H$ $-$ сепарабельные вещественные гильбертовы пространства$,\ $ $U_0=Q^{1/2}U.$
Среднеквадратическая аппроксимация повторных стохастических интегралов по бесконечномерному $Q$-винеровскому процессу является одной из наиболее сложных проблем на стадии численной реализации сильных аппроксимационных схем высоких порядков точности (относительно дискретизации по времени) для полулинейных некоммутативных СДУ с частными производными и нелинейным мультипликативным пространственно-временным шумовым возмущением (аппроксимационные схемы$,$ основанные на так называемом мягком решении)$.$
Впервые применены многочлены Лежандра для среднеквадратической аппроксимации повторных стохастических интегралов Ито и Стратоновича вида $(1)$ и $(2)$ кратностей $1 - 6.$ Показано$,$ что система многочленов Лежандра является оптимальной при решении данной проблемы при $k\ge 3.$
Сформулированы и доказаны теоремы о замене порядка интегрирования для повторных стохастических интегралов Ито и повторных стохастических интегралов по мартингалам$.$
Получены четыре так называемых унифицированных разложения Ито-Тейлора и Стратоновича-Тейлора$.$
Построены сильные численные методы достаточно высоких порядков точности $\gamma = 1.0,$ $1.5,$ $2.0,$ $2.5,$ $3.0, ... $ для СДУ Ито с многомерным и некоммутативным шумом$.$ Среди них явные и неявные$,$ одношаговые и многошаговые методы$,$ в том числе методы типа Рунге-Кутта$.$
В сферу научных интересов также входят различные типы стохастических интегралов и их свойства$,$ а также численное моделирование линейных и нелинейных стохастических динамических систем$.$
ИСТИНА
