| RUS ENG |
| Полная версия |
|
|
|
| ПЕРСОНАЛИИ |
| Ремизов Иван Дмитриевич |
|
| кандидат физико-математических наук |
Научная работа посвящена созданию и исследованию новых конструкций, основанных на идеях и методах функционального анализа. Эти конструкции применяются затем для решения задач теории дифференциальных уравнений и вычислительной математики.
Тематика исследований в основном относится к построению и исследованию основанных на теореме Чернова методов аппроксимации сильно непрерывных полугрупп линейных ограниченных операторов в банаховом пространстве (также называемых $С_0$-полугруппами). Эти методы позволяют выражать сколь угодно точные аппроксимации к решениям линейных дифференциальных уравнений в явном виде через коэффициенты этих уравнений - произвольные функции, играющие роль параметров. Эта ситуация аналогична выражению корней квадратного трёхчлена через его коэффиценты в элементарной математике. Построенные И.Д.Ремизовым методы применимы к обыкновенным дифференциальным уравнениям, а также к уравнениям в частных производных: параболическим, эллиптическим и уравнениям типа Шрёдингера. Аппроксимации к решению через коэффициенты уравнения выражаются с помощью формул Фейнмана, а также с помощью двух новых типов формул, впервые построенных в работах И.Д.Ремизова: квазифейнмановских интегральных формул и формул, полученных с помощью оператора сдвига. Эти аппроксимации носят конструктивный характер (имеется ясный алгоритм вычисления), в некоторых случаях доказаны оценки на скорость сходимости аппроксимаций к точному решению уравнения.
Полученные научные результаты (по состоянию на март 2023)
1. Совместно с А.В.Савватеевым найден субдифференциал функционала вычисления максимума на пространстве всех вещественных функций, непрерывных на метрическом компакте $K$. А именно, показано, что если $Mf=\max_{x\in K}f(x)$, то субдифференциал функционала $M$, вычисленный на функции $f$, совпадает с множеством всех вероятностных мер на аргмаксимуме $f$.
2. Для параболического уравнения с переменными коэффициентами с пространственной координатой из бесконечномерного гильбертова пространства доказано существование разрешающей полугруппы, найдена дающая решение задачи Коши формула Фейнмана, доказана непрерывная зависимость решения от коэффициентов уравнения. (Статьи: Russ.J.Math.Phys. 2012, Модел. и анализ информ. систем 2015, IDAQP 2018).
3. Для параболического уравнения на вещественной прямой с переменными коэффициентами построены основанные на операторах сдвига черновские аппроксимации к решению задачи Коши, доказана равномерная сходимость аппроксимаций к решению. Доказано, что решение может быть записано как формула Фейнмана с интегральным ядром, содержащим обобщённые функции. (Статьи: ДАН 2017, Appl.Math.Comp. 2018)
4. То же самое, что и в п.3, сделано в $\mathbb{R}^n$. (Статья: J.Math.Phys. 2019)
5. Введено понятие функции, касательной по Чернову к оператору, и найдены методы построения таких функций. (Cтатьи: ДАН 2017, Дифф. уравнения 2017)
6. Открыта формула $R(t)=\exp(ia(S(t)-I))$, позволяющая по самосопряжённой касательной Чернова $S$ к произвольному самосопряжённому оператору $H$ при помощи теоремы Чернова построить сильно непрерывную группу унитарных операторов $e^{iatH}$, где $a$ -- ненулевое вещественное число (например, 1 или -1). Эта формула позволяет строить представления решений широкого класса уравнений Шрёдингера, для полученных представлений И.Д.Ремизов ввёл термин "квазифейнмановские формулы" (Статьи: J.Funct.Anal. 2016, ДАН 2017)
7. В виде квазифейнмановских формул, построенных на основе интегрального оператора совместно с Д.В.Гришиным найдены решения одномерного уравнения Шредингера с гамильтонианом вида квадрат импульса плюс гладкий ограниченный потенциал (Статья: Вестник МГТУ 2017)
8. В виде квазифейнмановских формул, построенных на основе оператора сдвига найдены решения одномерного уравнения Шредингера с гамильтонианом вида квадрат импульса плюс локально квадратично интегрируемый потенциал (Статья: Матем. заметки 2016)
9. В виде квазифейнмановских формул найдены решения конечномерного уравнения Шредингера с гамильтонианом вида квадрат импульса плюс потенциал (Статьи: Матем. заметки 2018, Potential Anal. 2020)
10. В виде квазифейнмановских формул найдены решения одномерного уравнения Шредингера с гамильтонианом, содержащим производные сколь угодно высокого порядка, умноженные на переменные коэффициенты. (Статья: Potential Anal. 2020)
11. Построены примеры, показывающие, что сходимость в теореме Чернова может быть сколь угодно быстрой и сколь угодно медленной. (Статьи: Матем. заметки 2020, Матем. заметки 2022)
12. Совместно с О.Е.Галкиным доказаны оценки сверху на скорость сходимости черновских аппроксимаций в общем случае. Кратко результат формулируется так: чем больше производных в нуле совпадает у полугруппы и её функции Чернова, тем выше будет скорость сходимости черновских аппроксимаций к полугруппе. В типичном случае при совпадении первых $k$ производных невязка убывает как $const/n^k$ при $n\to\infty$, но при неудачно выбранной функции Чернова сходимость может быть гораздо медленнее. (Статьи: Матем. заметки 2020, Матем. заметки 2022 + статьи на рассмотрении в журналах).
13. Открыт метод построения быстро сходящихся черновских аппроксимаций, совместно с А.В.Ведениным построены примеры таких аппроксимаций. (Статья на рассмотрении в журнале)
14. Совместно с К.А.Драгуновой, А.А.Гаращенковой, Н.Никбахт исследована зависимость скорости сходимости черновских аппроксимаций в сильной операторной топологии от вектора, на котором рассматривается сходимость операторов. (Статья на рассмотрении в журнале)
15. Открыт метод построения черновских аппроксимаций для резольвент операторов, являющихся генераторами $C_0$-полугрупп. С помощью этого метода построены черновские аппроксимации к решениям обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. (Статья на рассмотрении в журнале, доступен препринт)
16. Совместно с С.Мадзуки, В.Моретти и О.Г.Смоляновым построены равномерно сходящиеся черновские аппроксимации к решениям параболического уравнения на некомпактном многообразии (Статья Math.Nacht. 2023)
Темы в работе (по состоянию на март 2023)
1. Исследование скорости сходимости черновских аппроксимаций (большое направление, много задач). 2. Построение черновских аппроксимаций к решениям эллиптических уравнений с частными производными. 4. Построение черновских аппроксимаций к решениям уравнений четвёртого порядка. 5. Исследование соприкасающихся клотоид и порождаемых ими кривых. 6. Исследования по психофизиологии эмоций.
; O. E. Galkin, I. D. Remizov, “Rate of Convergence of Chernoff Approximations of Operator 
; I. D. Remizov, “Feynman and Quasi-Feynman Formulas for Evolution Equations”, Doklady Mathematics, 96:2 (2017), 
ИСТИНА
