Специальность ВАК:
01.04.02 (теоретическая физика)
Дата рождения:
05.02.1940
Телефон: +7 (495) 137 63 71, +7 (0872) 34 73 83
Факс: +7 (495) 938 20 54
E-mail: Ключевые слова: Гипергеометрические ряды от одного и нескольких переменных; специальные функции; операторная факторизация рядов; символический компьютерный анализ гипергеометрических рядов; частные свойства (теория преобразований, формулы приведения; производящие функции; рекуррентные соотношения; формулы сложения; теоремы линеаризации; свойства положительности; коэффициенты функциональных разложений); квантовая теория молекул; вариационные методы; многоцентровые интегралы; регуляризация расходящихся интегралов; разложение неприводимых сферических тензоров по "функциям другого центра"; фурье-образы атомных орбиталей; производные сложных функций высоких порядков.
Коды УДК: 517.521.5, 517.584, 517.586, 517.588, 517.583, 519.6, 519.677, 519.671, 519.68 Коды MSC: 33C05, 33C10, 33C15, 33C20, 33C45, 33C50, 33C55, 33C65, 33C70, 33F05, 33F10, 65D20, 42A38, 35Q40, 81V55, 90-08, 68T35, 68W30
Основные темы научной работы:
Я пришел в математику из теоретической физики, проделав долгий путь через теоретическую (квантовую) химию. Это оказало сильное влияние на мои научные интересы, значительно расширив их и изгнав из них "абстракции", типичные для "чистой" математики. Мои ранние работы (с А. Б. Александровым и Ю. А. Кухаренко), связанные с формулировкой кинетического уравнения и формализма фуннкции Грина, вряд ли могут представлять сейчас какой-либо интерес. В 1974 г. с целью ускорения сходимости и подавления расходимости в схеме Хартри–Фока–Рутана (ХФР), являющейся вариационной переформулировкой уравнения Шредингера, была введена эффективная параметризация "сжимающего" отображения итерационного метода. Был предложен адиабатический принцип, устраняющий проблему бифуркации в схеме ХФР. Введен новый класс базисных функций ("мозаичные орбитали"), позволяющие исключить проблему сложно-вычисляемых трех- и четырехцентровых интегралов в методе ХФР. Разработана простая процедура регуляризации расходящихся "молекулярных" интегралов. Было показано, что, по аналогии с разложением Тейлора, коэффициенты разложения произвольной атомной орбитали (АО), имеющей форму неприводимого сферического тензора, по базису АО, центрированных в другой точке, выражаются через дифференциальные операторы, действующие на исходную АО. Даны явные выражения для таких дифференциальных операторов, которые также имеют форму неприводимых сферических тензоров. Попутно установлены явные выражения для дифференциальных операторов, позволяющих получить любую атомную орбиталь, воздействуя на простейшую орбиталь того же класса. Введен общий класс функций, содержащий все атомные орбитали, используемые в расчетах. Было найдено выражение фурье-образа общей атомной орбитали через функцию Аппеля $F_2$. Эту $F_2$ можно выразить в виде конечной суммы четырехмерных сферических гармоник. Этот результат обобщает часть известной теоремы В. А. Фока. Указанная конечная сумма сводится к единственной четырехмерной гармонике в случае водородоподобных функций. По-видимому, этот результат был впервые получен в 20-х годах Лайнусом Полингом. В. А. Фок получил этот формальный результат методом интегрального уравнения и применил его как основу своей знаменитой физической теории, объясняющей "случайное" вырождение уровней атомов водорода. В моей работе было показано, что есть еще один случай, когда такая сумма сводится к единственной четырехгармонике. Это — случай слейтеровских функций, широко используемых в теории электронных состояний молекул. Попутно было выяснено какой из классов базисных функций имеет фурье-образы простейшего вида. Наиболее интересные результаты автора связаны с принципом операторной факторизации, введенном в 1983 г. Была введена новая аналитическая операция над степенными рядами. Эта операция позволяет выразить любой ряд через более простые ряды (свойство замкнутости) и использовать затем известные свойства более протых рядов, чтобы установить, наиболее прямым и простым способом, любое свойство сложного исходного ряда. Детально разработаны необходимые вычислительные приемы. Введены новые теоретические понятия, включая понятия канонической формы ряда, $\Omega$-эквивалентных соотношений, $\Omega$-эквивалентных операторов, $\Omega$-тождественных преобразований и соотношений $\Omega$-биортогональности. На этой основе была разработана новая объединенная теория однократных и многократных гипергеометрических рядов. Основные результаты включают: новую теорию преобразований и формул приведения гипергеометрических функций; новый простой алгоритм отыскания условий приводимости; приложения этого алгоритма для компьютерного вывода новых формул приведения функций Гельфанда; важные специальные преобразования функций $F_4, G_2$ и $H_4$; новую технику вывода аналитических выражений для коэффициентов функциональных разложений; соотношения двойственности для коэффициентов сложения и коэффициентов линеаризации; диаграммную технику для гипергеометрических рядов от нескольких переменных. Ввиду пугающей новизны нового метода, маскирущей изначальную простоту его структуры, для лучшего ознакомления с нетривиальными аналитическими возможностями метода полезно разобрать пример из статьи (с В. И. Перевозчиковым и В. А. Лурье), которая опубликована в международном журнале "Fractional Calculus and Applied Analysis", издаваемом в Болгарии [2000, 3 (2), 119–132]. Дополнительный интерес к результатам этой статьи придает тот факт, что она была отвергнута ранее британским "Journal of Physics A: Math. Gen." на том основании, что "читатель может подумать, что его разыгрывают". Метод операторной факторизации открывает значительные перспективы в области компьютерной символической обработки гипергеометрических рядов от многих переменных. Разработанные программы (с О. С. Парамоновой), реализующие линейные и квадратичные преобразования в комбинации с алгоритмом поиска формул приведения отличаются значительной эффективностью и продуктивностью. Ни одна из существующих систем компьютерного анализа не может конкурировать в данной области с этими программами. Тем менее на это способны подходы, основанные на эксплуатации пассивных баз данных. Речь идет, в частности, о крупномасштабном проекте электронной библиотеки математических функций, разрабатываемом в Национальном институте стандартов и технологии (США). Хорошую основу для ознакомления с программным аспектом предлагаемого метода дают компьютерный анализ формул приведения функций Гельфанда и более простой пример компьютерной обработки функции Аппеля $F_4[a_1,a_2,a_1,b_2;x_1,x_2]$ (О. С. Парамонова, А. В. Ниукканен, Программирование, 2002, № 2, 24–29). Эти программные разработки могли бы стать частью и одним из источников дальнейшего развития мощного математического сервера РАН.
Основные публикации:
Niukkanen A. W. Generating differential operators for the basis functions in the variational LCAO-type methods // J.Math.Phys., 1984, 25 (3), 698–705 (see also: ibid. 1983, 24 (8), 1989–1991; ibid. 1985, 26 (6), 1540–1546).
Niukkanen A. W. Fourier-transforms of atomic orbitals. I. Reduction to four-dimensional harmonics and quadratic transformations // International J. of Quantum Chemistry, 1984, 25, 941–955 (see also: ibid. 1984, 25, 957–964).
Ниукканен А. В. Новая теория гипергеометрических рядов и перспективы ее использования в системах компьютерной алгебры // Фундаментальная и прикладная математика, 1999, 5 (3), 716–745 (см. также: там же, 2001, 7 (1), 1–16).
Niukkanen A. W. Operator factorization method and addition formulas for hypergeometric functions // An international journal Integral Transforms and Special Functions, 2001, 11, 25–48.
Ниукканен A. B., Парамонова О. С. Линейные преобразования и формулы редукции гипергеометрических функций Гельфанда, связанных с грассманианами $G_{2,4}$ и $G_{3,6}$ // Математические заметки, 2002, 71 (1), 88–99 (см. также: там же, 2000, 67 (4), 573–581; там же, 2001, 70 (5), 769–779).
