On the zeroes of the function of Davenport and Heilbronn lying on the critical line

Пусть $\chi_1(n)$ - характер Дирихле $\mod 5$ такой, что $\chi_1(2)=i$,
$$ \varkappa\,=\,\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}-2}{\sqrt{5}-1}. $$
Функция Дэвенпорта–Хейльбронна определяется равенством
$$ f(s)\,=\,\frac{1-i\varkappa}{2}L(s,\chi_1)\,+\,\frac{1+i\varkappa}{2}L(s,\overline{\chi}_1). $$
Функция $f(s)$ введена и исследована Г. Дэвенпортом и Х. Хейльбронном в 1936 г. Она удовлетворяет следующему функциональному уравнению риманова типа $g(s)=g(1-s)$, где
$$ g(s)\,=\,\biggl(\frac{\pi}{5}\biggr)^{\!-\,s/2}\Gamma\biggl(\frac{1+s}{2}\biggr)f(s). $$


Хорошо известно, что не все нетривиальные нули $f(s)$ лежат на прямой $\Re s=\tfrac{1}{2}$.

В области $\Re s>1$, $0<\Im s\le T$ число нулей $f(s)$ превосходит $cT$, где $c>0$ – абсолютная постоянная (Дэвенпорт и Хейльбронн, 1936).

Более того, число нулей $f(s)$ в области $\tfrac{1}{2}<\sigma_1<\Re s<\sigma_2$, $0<\Im s\le T$ превосходит $c_{1}T$, где $c_{1}>0$ — абсолютная постоянная (С.М. Воронин, 1976).

В 1980 г. Воронин доказал, что “аномально много” нулей $f(s)$ лежат на критической прямой $\Re s=\tfrac{1}{2}$. Пусть $N_{0}(T)$ — число нулей $f(s)$ на промежутке $\Re s=\tfrac{1}{2}$, $0<\Im s\le T$. Воронин получил оценку
$$ N_{0}(T)\,>\,c_{2}T\exp\bigl(\tfrac{1}{20}\sqrt{\log\log\log\log T}\bigr), $$
где $c_{2}>0$ — абсолютная постоянная.

В 1990 г. А.А. Карацуба существенно усилил неравенство Воронина и получил оценку
$$ N_{0}(T)\,>\,T(\log T)^{1/2-\varepsilon}, $$
где $\varepsilon>0$ – произвольно малая константа, $T>T_{0}(\varepsilon)>0$.

В 1994 г. Карацуба получил и несколько более точную оценку
$$ N_{0}(T)\,>\,T(\log T)^{1/2}\exp{\bigl(-c_{3}\sqrt{\log\log T}\bigr)}, $$
где $c_{3}>0$ – абсолютная постоянная.

В докладе будет представлена следующая теорема, доказанная автором.

Теорема. Пусть $\varepsilon>0$ — произвольно малая константа. Тогда справедлива оценка
$$ N_{0}(T)\,>\,T(\log T)^{1/2+1/16-\varepsilon}. $$