Universality of the Epstein zeta-function in the lattice aspect

В докладе будет рассказано о результатах совместной работы с А. Сёдергреном, в которой нами было доказано, что дзета-функция Эпштейна универсальна “по решёткам”.

Так, пусть функция $f$ аналитична в полосе $\{s:\tfrac{1}{2} < \Re s <1\}$ и вещественна при вещественных $s$. Тогда для всякого компактного множества $K \subset \{s:\tfrac{1}{2}< \Re s <1\}$, для любого $\varepsilon>0$ и для любого достаточно большого $n$ существует некоторая $n$-мерная решётка $L$ такая, что
$$ \max_{s \in K} \biggl|\,2^{s-1}V_{n}^{-s}E_{n}\left(L,{{ns}\over 2}\right)\,-\,f(s)\biggr|\,<\,\varepsilon, $$
где $E_{n}(L,s)$ обозначает дзета-функцию Эпштейна, отвечающую решётке $L$, а $V_{n}=\pi^{n/2}/\,\Gamma(n/2+1)$ - объём $n$-мерного шара. Если же рассматривать приближения функции $f(s)$ разностью двух дзета-функций Эпштейна, отвечающих разным решёткам, то аналогичный результат будем иметь место во всей полуплоскости $\Re s>\tfrac{1}{2}$. Это первый пример, когда теорема универсальности типа Воронина имеет место во всей полуплоскости абсолютной сходимости.

Основными составляющими нашего доказательства являются результаты о распределении векторов решётки из диссертации Сёдергрена, а также некоторые аппроксимационные утверждения о полиномах Дирихле.