По стопам Сельберга: об аналоге гипотезы Римана, плотностных теоремах и распределении значений $L$-функций из класса Сельберга (и их линейных комбинаций) на критической прямой

В 1989 г. Атле Сельберг определил класс рядов Дирихле, для которых предполагается справедливость аналога гипотезы Римана. В докладе мы расскажем о следующих результатах, доказанных для некоторых функций из класса Сельберга:

• положительная доля нетривиальных нулей $L$-функции лежит на критической прямой;
• почти все нетривиальные нули $L$-функции лежат в окрестности критической прямой;
• значения логарифма $L$-функции на критической прямой асимптотически нормально распределены.

Оказывается, что в некотором смысле эти результаты эквивалентны и их ядром является решение аддитивной проблемы с коэффициентами соответствующего $L$-ряда Дирихле.
Также мы поговорим о нулях линейных комбинаций $L$-функций из класса Сельберга и о распределении значений таких линейных комбинаций на критической прямой.