Топологическая классификация функций Морса и 16-я проблема Гильберта

Гильберт спрашивает в своей 16-й проблеме, как классифицируются топологически гладкие кривые на вещественной плоскости с декартовыми координатами $x$ и $y$, заданные уравнениями $f(x,y)=0$, где $f$ – многочлен фиксированной степени.
В настоящем докладе обсуждается (более естественный для многих приложений) вопрос о топологической классификации не линий уровня, а самих многочленов данной степени (или более общим образом, гладких функций Морса с фиксированным числом критических точек).
Для функций на окружности топологические классы перечисляются коэффициентами разложения в ряд Тейлора функции тангенс.
Для функций Морса с $T$ седлами на двумерной сфере число классов было недавно оценено мною снизу и сверху величинами $T^T$ и $T^{2T}$, причем я сформулировал гипотезу, что вторая оценка близка к истинной асимптотически (для $T=4$ число классов я нашел равным 17746).
Моя гипотеза была затем доказана Л. Николаеску, нашедшим также и точное выражение для числа классов: тангенс заменяется в этом случае некоторым эллиптическим интегралом, подобным тем асимптотикам, при помощи которых А. Б. Гивенталь доказал гипотезу зеркальной симметрии квантовой теории поля.
В докладе будет рассказано о моих результатах теории случайных графов, на которых основаны и мои оценки, и доказательства Николаеску, а также об обобщении этой теории на случай функций на торе (и тригонометрических многочленов вместо обычных).
Удивительным отличием тора от сферы является то, что число классов топологической эквивалентности функций Морса с заданным числом критических точек оказывается для тора бесконечным, если классифицировать функции на торе с использованием связной компоненты группы диффеоморфизмов тора (т.е. не переставлять, например, параллели и меридианы при установлении топологической одинаковости функций).
Несмотря на это, число (так же определенных топологически) классов тригонометрических многочленов фиксированной степени оказывается конечным (так как степени негомотопности тождеству нужных в этом случае диффеоморфизмов тора ограничены для тригонометрических многочленов ограниченной степени).
Доказательства этих результатов основаны на нетривиальной вещественной алгебраической геометрии, но в докладе будут сформулированы и не доказанные еще обобщения полученных результатов. Например, вопросы о скорости роста числа многочленов (для случая сферы) или тригонометрических многочленов (для случая тора) с ростом числа критических точек остаются открытыми: сверхэкспоненциальный рост $T^{2T}$ для гладких функций вправе смениться даже на степенной рост типа $T^{\mathrm{const}}$ для случая многочленов.