Асимптотическое нахождение точек ветвления алгебраической функции с помощью нулей дискриминантов, построенных по полиномам Эрмита–Паде

Пусть $f$ — алгебраическая функция степени $m+1$ и $f_\infty$ — голоморфный росток $f$ в точке $\infty$. Полиномами Эрмита–Паде типа 1 порядка $n\in\mathbb N$ для набора ростков $[1, f_\infty, f_\infty^2,\dots, f_\infty^m]$ в точке $\infty$ называются полиномы $Q_{n,0}, \dots, Q_{n,m}$ такие, что $\deg{Q_{n,j}}\leqslant{n}$, $j=0, \dots, m$, хотя бы один $Q_{n, j}\not\equiv 0$ и выполнено соотношение
$$ Q_{n,0}(z) + \sum_{j=1}^{m}f_\infty^j(z)Q_{n, j}(z)=O\left(\frac{1}{z^{m(n+1)}}\right) \quad \text{при } z\to\infty. $$

При каждом $n\in\mathbb N$ обозначим через $D_n(z)$ дискриминант полинома $P_n(z,w):=Q_{n,m}(z)w^m+Q_{n,m-1}(z)w^{m-1}+\dots+Q_{n,0}(z)$ как полинома от $w$. Тогда $D_n(z)$ — полином степени не выше $(2m-2)n$. Для его нахождения достаточно знать лишь конечное число коэффициентов Тейлора ростка $f_\infty$ (а именно, $m(n+1)+m$ коэффициентов).
Мы покажем, что точки ветвления исходной функции $f$ могут быть приближенно найдены с помощью нулей полиномов $D_n$.
Доклад основан на совместной работе с А. В. Комловым (МИАН).
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 24-11-00196, https://rscf.ru/project/24-11-00196/.