Кривые Бутру и распределение нулей ортогональных многочленов

Гиперэллиптические кривые являются существенным ингредиентом метода конечнозонного интегрирования. При условии вещественности всех циклов на таких кривых они называются кривыми Бутру. Помимо конечнозонных решений они возникают в методе наискорейшего спуска при интегрировании уравнений Пенлеве методом изомонодромных деформаций. Для многочленов, ортогональных относительно экспоненциального веса $e^{-nV(z)}$, оказывается, что кривые Бутру служат носителями нулей в пределе $n\to\infty $. При полиномиальных функциях $V(z)$ многочлены удовлетворяют рекуррентным соотношениям с коэффициентами, определяемыми по моментам экспоненциального веса.
В случае $V(z) =z^3$ коэффициенты вычисляются с помощью дискретного уравнения Пенлеве первого типа (dPI). Для него построены классы асимптотических решений для больших значений независимой переменной. Изучен частный случай переходной асимптотики, когда один из коэффициентов dPI столь же велик, что и независимая переменная. Найдена оценка момента перехода, когда решение стремится к бесконечности. Этот момент, в свою очередь, определяет предельные точки на кривой Бутру, к которым накапливаются нули многочленов. Также эта переходная асимптотика порождает особенности в моделях лапласовского роста и в распределениях собственных значений ансамблей нормальных матриц.