An approach to the Garside theory through CD-Lemma - II

В 1969 году Фрэнк Арнольд Гарсайд решил проблему сопряжённости в группе кос, введя в рассмотрение косу, которая получается из тривиальной косы путём переворачивания нитей на 180 градусов. Такой элемент он назвал фундаментальной косой. Сейчас же эта коса называется косой Гарсайда или элементом Гарсайда. Позже, в конце 80-х и в середине 90-х годов прошлого века, усилиями С.Адьяна, М.Райфаи, Г.Мортона и У.Тёрстона, этот подход был усилен и улучшен для решения других задач теории группы кос. После этого Патриком Дэорнуа этот подход был обобщён на другие интересные примеры, и в результате была построена целая теория, названная теорией Гарсайда. В данной теории рассматриваются слева-сократимые моноиды, и вообще категории, которые похожи на моноид кос; у них имеется свой гарсайдовский элемент, и процесс переписывания слов в этих моноидах схож с переписыванием в моноиде кос. Но на этом всё не заканчивается. Оказывается, что такие моноиды (именуемые гарсайдовыми), являются лишь небольшой частью теории. Далее вводятся понятия гарсайдовского семейства и гарсайдовского ростка. Всё это даёт единый подход к решению некоторых алгоритмических задач (проблема сопряжённости, проблема равенства слов) для моноидов (групп), которые на первый взгляд далеки от моноида кос.

В докладе будет рассказано о том, как можно подойти к этой теории, используя слегка видоизменённую версию CD-леммы. Мы увидим, что условия на то, чтобы семейство было гарсайдовым, это условие конфлюэнтности для определённой переписывающей системы, и то что жадная форма слов (greedy normal form), одно из центральных понятий теории Гарсайда, является множеством непереписывающихся слов относительно этой переписывающей системы. Мы также переоткроем классический результат Тёрстона (=образующие Адьяна-Тёрстона), используя этот метод, и поговорим о группах Артина и об одной замечательной игре (the number game), позволяющей обобщить подход Тёрстона и Дэорнуа к произвольным группам Артина.