Общая теория дифференциальных уравнений с частными производными в XIX – XX столетиях: диалектика концептуального развития

На протяжении 19 века теория дифференциальных уравнений с частными производными развивалась в двух основных направлениях – как общая теория таких уравнений и как теория граничных задач уравнений математической физики. Если основной задачей в первой было нахождение общего решения уравнений, в выражение которого входят произвольные функции, и является необходимым определить степень произвольности наиболее общего решения, так и, по возможности, само это решение, то основной задачей второго направления – найти решение определённой физической проблемы, удовлетворяющее некоторым начальным и граничным условиям. Каждому из этих направлений посвящены отдельные разделы в знаменитой «Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften»: общей теории очерк Э. фон Вебера (Bd. , H. 2 – 3; 1900), теории граничных задач обзор А. Зоммерфельда (Bd. , H. 4; 1900). Д.Ф. Егоров во введении к его магистерской диссертации «Уравнения с частными производными 2-го порядка по двум независимым переменным» (1899) различает эти направления, подчёркивая «принципиальную разницу в самой постановке вопроса при изыскании интеграла данного уравнения, в зависимости от того, рассматривается ли оно самостоятельно или же как уравнение определённой задачи физики». В последней трети XIX века начинает складываться новая точка зрения на общую теорию дифференциальных уравнений. Становится ясным (С. Ли, А. Пуанкаре), что общее решение в «замкнутой форме» оказывается возможным лишь в исключительных случаях. Многочисленные методы исследования их решений (в том числе приближённые методы) вышли на передний план. Мало по малу формировался взгляд на общую теорию дифференциальных уравнений как на теорию граничных задач для различных типов – эллиптических, гиперболических, параболических, уравнений смешанного типа – таких уравнений. И хотя изучение общей теории, понимаемой в прежнем смысле, продолжалось (E. Vessiot, E. Cartan, J. Drach etc.), эти работы оказались в стороне от основного потока исследований по теории уравнений с частными производными. Ситуация начала изменяться в последней трети ХХ века, когда эти исследования стали частью современной теории дифференцируемых многообразий (H. Goldschmidt, S. Sternberg, A.M. Виноградов). И снова старая проблема нахождения общего решения в «замкнутой форме» вышла на передний план. Хотя уравнения, которые допускают такие решения, и представляют собой большую редкость, но, как оказалось, они играют большую роль в физике.