Новые направления и перспективы в двумерной теории чисел II

Эйлеровское определение дзета функции для целых чисел расширяется на комплексную переменную и обобщается на числовые и, более общо, одномерные глобальные поля. Глубокие аспекты аналитической и алгебраической теории чисел взаимосвязываются через дзету функцию и ее свойства. Одно из наиболее концептуальных пониманий ее свойств появляется при работе с дзета интегралом, вычисления которого (Ивасава, Тейт, Вейль) используют переплетение арифметических, геометрических, алгебраических методов, а также гармонический анализ.
Легко распространить определение дзета функции на коммутативные кольца, в которых каждый максимальный идеал имеет конечный индекс. Отсюда совсем близко до определения дзета функции схемы конечного типа на целыми числами, например решений системы полиномиальных уравнений с целыми коеффициентами. Разнообразная информация об этих решениях закодирована в одном обьекте - дзета функции схемы. Для схем размерности > 1 с полем функций характеристики 0 мы по-прежнему знаем очень мало о дзета фукциях.
Один из первых нетривиальных примеров двумерных схем поставляется регулярной моделью X эллиптической кривой E над глобальным полем k. Вычисления, выполненные послойно, дают, что дзета функция Z(X,s) поверхности X равна произведению вспомогательного множителя, дзета функции Z(k,s) одномерного глобального поля k и сдвинутой дзета функции Z(k, s-1), поделенному на L-функцию L(E,s) кривой E, т.е. общего слоя. По ряду исторических и технических причин именно последняя функция интенсивно изучалась. Группа Галуа, порожденная точками конечного порядка кривой E над k, неабелева в общем случае, и с этой точки зрения L-функция изучается в целом неабелевыми методами, окольными и специальными в характеристике ноль, использующими дополнительные структуры, которые не распространяются на общий случай. Напротив, ожидается, что дзета функцию арифметической схемы можно изучать абелевыми методами, в частности для Х соответствующая группа G - группа Галуа максимального абелева расширения поля функций Х, двумерного глобального поля. При работе в правильной геометрической размерности два, непростая специальная одномерная неабелева теория заменяется на достаточно общую двумерную абелеву.
Есть три ключевые проблемы о дзета функции Z(X,s). Первая - доказать мероморфное продолжение и функциональное уравнение Z(X,s); для числового поля k это неизвестно в общем случае и следует из теоремы Вайлса (который работает с L-функцией) в самом простом случае когда k - рациональное поле. Вторая (гипотеза BSD) - вычислить вычет Z(X,s) в 1, и, в частности, обьяснить ожидаемое соотношение порядка полюса и арифметического ранга E(k) (или, равносильно, геометрического Пикаровского ранга Х); вычисления проведены лишь в специальных случаях маленького ранга и маленьких полей, где есть дополнительные структуры, такие как т.н. Эйлеровские системы. Третья (2-мерная гипотеза Римана, GRH) - понять причины и доказать, что нецелые полюса Z(X,s) лежат на вертикальной прямой, проходящей через 1; в частности, X как двумерный обьект, более открыт физически мотивированным подходам, которые безуспешно опробывались для дзета функции целых чисел в XX веке.
Данная серия лекций неформально представит ключевые адельные методы для изучения дзета функции Z(X,s). Аналоги многих обьектов из классической теории раздваиваются в размерности два. Например, дивизоры одномерных схем обобщаются до 1-циклов (геометрия) или до 0-циклов (намного более важных для дзета функции) на поверхностях; и есть не одна, а две, геометрическая и аналитическая адельные структуры на поверхности Х. На мультипликативном уровне две адельные структуры взаимодействуют в явной двумерной теории полей классов через отображение взаимности в абелеву группу G. Двумерный дзета интеграл определенным образом учитывает эти структуры и с помощью двумерной тета-формулы сводит изучение трех ключевых проблем к конкретным более простым вопросам об адельных пространствах и интегралам по ним.