Аннотация:
В работе В. М. Бухштабера и В. Д. Володина 2012 года изложена теория $2$-усеченных кубов и её приложения к
известным задачам комбинаторики флаговых многогранников. В основе этой теории
лежит операция усечения простого многогранника $P$ вдоль грани $F$
коразмерности $2$. Эта операция замечательна тем, что переводит простой
многогранник в простой и флаговый многогранник в флаговый. Она позволила ряд
семейств флаговых многогранников (ассоциэдры, нестоэдры, кубиэдры, и др.),
играющих важную роль в торической геометрии, торической топологии и
естественно возникающих в теории особенностей, теории кластерных алгебр,
теории квантовых групп, задачах математической физики, реализовать как
$2$-усеченные кубы.
В настоящей работе мы развиваем теорию и приложения, основанные на более
общей операции граф-усечения простых многогранников, использующую понятие
допустимого графа набора граней коразмерности $2$ данного простого
многогранника. Показано,что эта операция переводит простой многогранник в
простой и флаговый многогранник во флаговый. Особое внимание уделено
трехмерным многогранникам, где имеется замечательный класс многогранников -
фуллерены, которые не являются $2$-усеченными кубами. Показано, что каждый
фуллерен является флаговым многогранником. Введено понятие граф-фуллерена.
Описаны все граф-фуллерены, которые можно получить из куба, ассоциэдра
(многогранника Сташефа), циклоэдра (многогранника Ботта-Таубса). Среди них
имеются комбинаторно не эквивалентные фуллерены, у которых наборы
двумерных граней совпадают. Показано, что не существует
граф-фуллеренов, которые можно получить из тетраэдра и пермутоэдра.
|
