Распределение линейных статистик сингулярных чисел произведения случайных матриц

В докладе рассматривается произведение двух независимых случайных матриц $\bf{X^{(1)}}$ и $\bf{X^{(2)}}$. Предположим, что $X_{jk}^{(q)}, 1 \le j,k \le n, q = 1, 2,$ удовлетворяют следующим условиям:

a) $X_{jk}^{(q)}$ являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами для всех $1 \le j, k \le n, q = 1, ... ,m$;
b) для всех $1 \le j, k \le n$
$$ \mathbb E X_{j k}^{(q)} = 0 \text { и } \mathbb E (X_{j k}^{(q)})^2 = 1; $$
c) $\mathbb E (X_{jk}^{(q)})^4 = \mu_4 < \infty$.
Обозначим через $s_1, ..., s_n$ – сингулярные числа матрицы $\bf{W}: = \frac{1}{n} \bf{X^{(1)}} \bf{X^{(2)}}$. Пусть $S: = \sum_{j=1}^n f(s_j^2)$, где $f(x)$ некоторая функция.
Мы покажем, что для некоторого класса функций $f(x)$ линейная статистика $S - \mathbb{E} S$ сходится по распределению к нормальному закону с нулевым средним и дисперсией, которая может быть выписана в явном виде.
Доклад основан на совместных результатах Ф. Гётце, А.А. Наумова и А.Н. Тихомирова.