Аннотация:
Универсальное пространство Тейхмюллера $\mathcal T$ является фактором группы $\mathrm{QS}(S^1)$ квазисимметричных гомеоморфизмов единичной окружности $S^1$ по модулю преобразований Мебиуса. (Напомним, что гомеоморфизм единичной окружности называется квазисимметричным, если он продолжается до
квазиконформного гомеоморфизма единичного круга.) Пространство $\mathcal T$ содержит в себе все классические пространства Тейхмюллера и фактор $\mathcal S$ группы $\mathrm{Diff}_+(S^1)$ гладких диффеоморфизмов $S^1$ по модулю преобразований Мебиуса. Обе группы действуют с помощью замены переменной на Соболевском пространстве $H:=H^{1/2}_0(S^1,\mathbb R)$ полудифференцируемых функций на $S^1$.
Задача квантования введенных пространств $\mathcal T$ и $\mathcal S$ возникает в теории струн, где оба они рассматриваются как фазовые многообразия этой теории. Напомним, что решение задачи квантования
для заданного фазового многообразия состоит в выборе алгебры Ли функций (наблюдаемых) на этом многообразии и построение ее неприводимого представления в некотором гильбертовом пространстве,
называемом пространством квантования.
В случае пространства гладких диффеоморфизмов $\mathcal S$ в качестве алгебры наблюдаемых берется алгебра Ли $\mathrm{Vect}(S^1)$ группы Ли $\mathrm{Diff}_+(S^1)$, состоящая из гладких векторных полей
на окружности. А роль пространства квантования в этом случае играет фоковское пространство $F(H)$, построенное по соболевскому пространству $H$. Инфинитезимальная версия действия группы $\mathrm{Diff}_+(S^1)$ на $H$ дает нам неприводимое представление алгебры Ли $\mathrm{Vect}(S^1)$ в пространстве $F(H)$, определяющее квантование $\mathcal S$.
В случае универсального пространства Тейхмюллера $\mathcal T$ ситуация становится более сложной, поскольку действие группы $\mathrm{QS}(S^1)$ на $\mathcal T$ не является гладким. Тем самым, не существует классической алгебры Ли, ассоциированной с группой $\mathrm{QS}(S^1)$. В этой ситуации на помощь приходят соображения из некоммутативной геометрии. С их помощью удается построить квантовую алгебру Ли наблюдаемых $\mathrm{Der}^q(\mathrm{QS})$, порождаемую квантовыми дифференциалами, действующими в пространстве $F(H)$. Указанные дифференциалы порождаются интегральными операторами $d^qh$ на соболевском пространстве $H$ с ядрами, задаваемыми по существу конечно-разностными производными гомеоморфизмов $h\in\mathrm{QS}(S^1)$.
