Аннотация:
Первоначальной целью исследования было отыскание асимптотически
оптимального критерия проверки гипотезы $H_0$ о равномерности распределения на
$[0,1]$ по частотам $\nu_1,\dots,\nu_N$ попадания $n$ н.о.р. наблюдений
в интервалы разбиения $[0,1]$ на отрезки длины $1/N$, когда $N,n\to\infty$.
А именно, цель была доказать, что критерий хи-квадрат, основанный на
статистике $\sum\nu_i^2$, является асимптотически наиболее мощным
в классе симметричных (перестановочно-инвариантных) критериев.
Этот класс — наиболее естественный при отсутствии какой-либо
конкретизации альтернатив к $H_0$.
Удалось решить более простую задачу, получаемую из описанной выше
предельным переходом по $n\to\infty$. Тогда частоты (при соответствующем
центрировании и нормировании) переходят в сл. в. $x_{N1},\dots,x_{NN}$,
имеющие нормальные распределения
$\mathcal N(\mu_{Ni}, 1)$, $i=1,\dots,N$, и проверяется гипотеза $H_0 \colon
\mu_{Ni}=0$, $i=1,\dots,N $. Сл. в. $x_{Ni}$ предполагаются независимыми.
(Ограничению $\sum\nu_i=n$ соответствовало бы условие $\sum x_{Ni}=0$,
но оно автоматически учитывается в статистике $Z_N^2$ ниже.)
Доказывается, что при любой заданной последовательности
альтернатив ${\boldsymbol{\mu}}_N=(\mu_{Ni})_{i=1}^N$, таких, что
$\sum\mu_{Ni}=0$, $\sum\mu_{Ni}^2=O(N^{1/2})$ и
выполняются некоторые условия равномерной малости $\mu_{Ni}$,
последовательность критериев, основанных на статистиках
$Z_N^2={\sum}_{i=1}^N(x_{Ni}-\bar x_N)^2$,
является асимптотически наиболее мощной в классе критериев,
симметричных относительно порядка компонент
$(x_{Ni})_{i=1}^N$.
При указанных выше альтернативах $\|{\boldsymbol{\mu}}_N\|\asymp N^{1/4}$
достигается нетривиальная мощность критерия.
|
