О спектральных разложениях оператора Штурма–Лиувилля с двухточечными краевыми условиями

Рассмотрим задачу на собственные значения для заданного на интервале $(0,\pi)$ уравнения Штурма–Лиувилля
$$ u''-q(x)u+\lambda u=0 \tag{1} $$
с общими двухточечными краевыми условиями
$$ B_i(u)=a_{i1}u'(0)+a_{i2}u'(\pi)+a_{i3}u(0)+a_{i4}u(\pi)=0, \tag{2} $$
где $B_i(u)$ $(i=1,2)$ – линейно независимые формы с произвольными комплексными коэффициентами. Функция $q(x)$ есть произвольная комплекснозначная функция из класса $L_1(0,\pi)$.
Условия (2) подразделяются на 4 основных типа:
1) усиленно регулярные;
2) регулярные, но не усиленно регулярные;
3) нерегулярные;
4) вырожденные.
Известно, что в первом случае система корневых функций $\{u_n(x)\}$ задачи (1), (2) всегда является базисом Рисса в пространстве $L_2(0,\pi)$, в третьем случае она никогда не образует даже обычного базиса в указанном пространстве, а во втором случае в зависимости от конкретного вида краевых условий и функции $q(x)$ система $\{u_n(x)\}$ может обладать или не обладать свойством базисности в пространстве $L_2(0,\pi)$. Значительно менее исследованными являются задачи на собственные значения для уравнения (1) с вырожденными краевыми условиями.
Итак, пусть условия (2) являются вырожденными. Согласно [1], за исключением задачи Коши, где спектр отсутствует, они имеют вид
$$ u'(0)+du'(\pi)=0,\quad u(0)-du(\pi)=0, \tag{3} $$
где $d\ne0$. Пусть $\lambda_n$ – занумерованные без учета кратности в порядке неубывания модуля собственные значения задачи (1), (3). Обозначим $m(\lambda_n)$ кратность собственного значения $\lambda_n$, $\mu_n=\sqrt{\lambda_n}$, $\mathrm{Re}\mu_n\ge0$.
Theorem. Если $\underline{\lim}_{n\to\infty}\frac{m(\lambda_n)}{\sqrt{|\mu_n|}}=0$, то система собственных и присоединенных функций задачи (1), (3) не образует базис в $L_2(0,\pi)$.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 13-01-00241).

Список литературы

1. Lang P., Locker J., “Spectral theory of two-point differential operators determined by $-D^2$”, J. Math. Anal. Appl., 146:1 (1990), 148–191