Группы Шоттки. Занятие 1

Параллельный перенос, поворот, поворотная гомотетия, композиция инверсии и осевой симметрии – частные случаи дробно-линейных отображений комплексной плоскости (в общем случае дробно-линейное отображение плоскости – это отображение, при котором точка $z=x+iy$ переходит в точку $\frac{az+b}{cz+d}$).
Как известно, инверсия выворачивает круг наизнанку: то, что было внутри, оказывается снаружи, и наоборот.

Говорят, что набор дробно-линейных отображений $f_1,\dots,f_g$ порождает группу Шоттки, если есть набор замкнутых жордановых кривых $\gamma_1,\dots,\gamma_g$, таких что:

• Области, ограниченные кривыми $\gamma_j$, не пересекаются.
• Под действием отображения $f_j$ точки внутри $\gamma_{2j-1}$ оказываются снаружи $\gamma_{2j}$, а точки снаружи $\gamma_{2j-1}$ – внутри $\gamma_{2j}$.

Группа, порождённая отображениями $f_j$ – это множество всевозможных композиций отображений $f_j$ и обратных к ним. Оказывается, в группе Шоттки длинные композиции ведут себя так: бо́льшую часть плоскости переводят внутрь очень маленькой области.

Кривые $\gamma_j$ (окружности) и их образы под действием отображений из группы Шоттки, $g=2$

В курсе мы расскажем, как группа Шоттки связана с:

• канторовским множеством;
• сферой с $g$ ручками с комплексной структурой;
• трёхмерным пространством Лобачевского.

Кроме того, мы расскажем ответы на следующие вопросы:

• всегда ли в качестве $\gamma_j$ можно взять окружности?
• бывает ли так, что при одном выборе образующих получается взять в качестве $\gamma_j$ окружности, а при другом нет?

Предполагается, что слушатели умеют выполнять арифметические действия с комплексными числами. Курс будет понятен школьникам.