Аннотация:
Речь пойдет об операторе Шредингера
$$H=-\frac{\partial^2}{\partial x^2}+v(x) -\lambda x$$
в $L^2({\mathbb R})$. Здесь $v$ – 1-периодичская функция, а $\lambda$ –
положительная постоянная. Оператор служит моделью для описания блоховского
электрона в кристалле, помещенном в постоянное электрическое поле, величина
которого пропорциональна $\lambda$. Спектр этого оператора абсолютно непрерывен
и заполняет всю ось. Оператор привлек значительное внимание как физиков, так и
математиков в связи с открытием лестниц Штарка-Ванье: оказалось, что резонансы
этого оператора – полюса аналитического продолжения его резольвенты через
спектр – образуют периодические цепочки, параллельные вещественной оси.
Оказалось, что цепочки резонансов нетривиально “взаимодействуют” при
изменении величины электрического поля, т.е. $\lambda$, и физики высказали
гипотезу, что поведение резонансов связано с арифметическими свойствами $\lambda$.
Мы показываем, что асимптотики цепочек с большими номерами описываются в терминах
кубических экспоненциальных сумм родственных кубическим суммам из теории чисел.
В случае, когда отношение $\pi^2/3\lambda$ рационально, мы получаем для лестниц
Штарка-Ваннье явные асимптотические формулы.
|
