k-пояса и рёберные циклы трёхмерных простых многогранников с не более, чем шестиугольными гранями

В центре внимания доклада – простые трёхмерные многогранники с не более, чем шестиугольными гранями. Если допускать только пятиугольные и шестиугольные грани, то этот класс многогранников включает в себя математические модели фуллеренов – сферических молекул углерода (Нобелевская премия по химии 1996 Р.Кёрлу, Х.Крото, Р.Смолли “за открытие фуллеренов”). Если допускать только $k$-угольные и шестиугольные грани, $k=3,4,5$, то мы получаем класс многогранников, встречающийся в литературе как $(k,6)$-клетки или $(k,6)$-фуллерены.
В 2003 году Дж. Борнхёфт , Г.Бринкманн и Дж. Греинус доказали, что для дисков на фуллеренах с не более, чем пятью пятиугольниками ограниченных простыми рёберными циклами, число граней ограничено сверху функцией от длины границы.
Циклический $k$-ребёрный разрез – это наборов из $k$ рёбер графа, удаление которого разбивает граф на две связные компоненты, содержащие цикл, а удаление любого собственного поднабора оставляет граф связным. В серии работ Т.Дослича, Ф.Кардоша, Р.Стрековски, М.Крнц, Б. Лузара было показано, что у фуллеренов нет циклических 3- и 4-рёберных разрезов, были классифицированы циклические 5-, 6- и 7-рёберные разрезы фуллеренов, было показано, что произвольный циклический $k$-рёберный разрез получается из тривиального разреза, состоящего из рёбер, пересекающих заданную грань по вершинам, при помощи трёх операций.
Доклад посвящён подходу, которых заключается в изучении $k$-поясов простых многогранников. $k$-поясом называется циклический набор двумерных граней, имеющий пустое пересечение, в котором пересекаются только последовательные грани. $k$-пояс канонически задаёт циклический $k$-рёберный разрез, состоящий из рёбер пересечений последовательных граней. Для $k=3$ каждый циклический 3-рёберный разрез получается таким образом. Однако для произвольного $k$ это не так.
Основной результат – теорема том, что для класса простых трёхмерных многогранников с не более, чем шестиугольными гранями, для каждого $k$ существует конечный набор дисков, такой что либо $k$-пояс окружает один из этих дисков, либо многогранник является нанотрубкой. Этот результат обобщает результат цикла работ Ф.Кардоша, Р.Стрековски, М.Крнц, Б. Лузара о циклических 5-,6- и 7-рёберных разрезах фуллеренов на случай $k$-поясов для любого $k$ и более широкого класса многогранников, в котором разрешаются также треугольные и четырёхугольные грани. Как следствие показано, что для любого $k$ либо простой цикл длины $k$ ограничивает диск из конечного набора, либо многогранник является нанотрубкой. Это обобщение результата работы Борнхёфта, Бринкмана и Греинуса на более широкий класс многогранников. Методы доказательства позволяют алгоритмически строить указанные наборы дисков.