|
ВИДЕОТЕКА |
|
Целые точки в выпуклых многогранниках. Лекция 1 Г. Ю. Панина |
|||
Аннотация: Курс представляет собой букет из трёх очень старых и трёх очень новых идей. Основной объект — число целых (т.е. с целыми координатами) точек в многограннике. 1. Зачем нужны целые точки? Несколько примеров: многогранник Ньютона, Теорема Бриона (1988) — для начала без доказательства, просто в качестве фокуса, а также подсчёт целых метрических ленточных графов (2009). 2. Число целых точек в выпуклом многограннике ведёт себя как полином. На плоскости это следует из теоремы Пика. В старших размерностях для доказательства этого факта понадобится элегантная комбинация оператора Тодда (1937) и разложения Грама–Брианшона (1837). 3. Согласно конструкции, в полином, вычисляющий число целых точек, имеет смысл подставлять лишь положительные числа. (А если хочется подставить отрицательные? Кто в детстве не пытался делить на ноль?) Чтобы придать смысл отрицательной подстановке, нужны виртуальные многогранники (1992). 4. Двойственность Эрхарта (1962) и её естественное обобщение (1992). 5. Секрет фокуса Бриона. У слушателей не предполагается никаких специальных предварительных знаний.
|