|
ВИДЕОТЕКА |
Конференция памяти Анатолия Алексеевича Карацубы по теории чисел и приложениям, 2016
|
|||
|
On a discrete spectrum of Laplace operator on the fundamental domain of modular group and Chebyshev's function [Дискретный спектр оператора Лапласа на фундаментальной области модулярной группы и функция Чебышёва] Д. А. Попов Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Научно-исследовательский институт физико-химической биологии имени А. Н. Белозерского |
|||
Аннотация: Оператор Лапласа $\Delta = u^{2}\bigl(\partial_{x}^{2}\,+\,\partial_{u}^{2}\bigr)$ имеет на фундаментальной области $$ \mathcal{F}\,=\,\bigl\{z\,=\,x+iy\,|\,y>0, |z|>1, |x|<\tfrac{1}{2}\bigr\} $$ модулярной группы $$ \Delta\varphi_{n}\,+\,\lambda_{n}\varphi_{n}\,=\,0,\quad \varphi_{n}\in L^{2}(\mathcal{F},d\mu),\quad d\mu\,=\,\frac{dx\,du}{u^{2\mathstrut}},\quad\lambda_{n}\ge 0, $$ и непрерывный спектр, покрывающий интервал В Шуровских лекциях (Тель -Авив, 1992 г.) П. Сарнак высказал предположение о том, что дискретный спектр Теорема. Для любого $$ 0<t\le x^{-4}(\ln{x^{p}})^{-2},\quad p\ge 20, $$ имеет место следующее равенство: $$ \psi(x)\,=\,2\sqrt{\pi}t\sum\limits_{n\ge 0}e^{-tr_{n}^{2}}\sum\limits_{2\le k\le x}k\cos{(2r_{n}\ln{k})}\,+\,R(x),\quad |R(x)|\,\le\,\frac{cx^{2}\sqrt{t}}{(\ln{x})^{2\mathstrut}}\,\le\,\frac{c}{(\ln{x})^{3\mathstrut}}. $$ \emph{В этом равенстве Таким образом доказано, что дискретный спектр Язык доклада: русский и английский |