On a discrete spectrum of Laplace operator on the fundamental domain of modular group and Chebyshev's function

Оператор Лапласа $\Delta = u^{2}\bigl(\partial_{x}^{2}\,+\,\partial_{u}^{2}\bigr)$ имеет на фундаментальной области
$$ \mathcal{F}\,=\,\bigl\{z\,=\,x+iy\,|\,y>0, |z|>1, |x|<\tfrac{1}{2}\bigr\} $$
модулярной группы $PSL(2,\mathbb{Z})$ бесконечный дискретный спектр $\{\lambda_{n}\}$,
$$ \Delta\varphi_{n}\,+\,\lambda_{n}\varphi_{n}\,=\,0,\quad \varphi_{n}\in L^{2}(\mathcal{F},d\mu),\quad d\mu\,=\,\frac{dx\,du}{u^{2\mathstrut}},\quad\lambda_{n}\ge 0, $$
и непрерывный спектр, покрывающий интервал $\bigl[\tfrac{1}{4},+\infty\bigr)$.
В Шуровских лекциях (Тель -Авив, 1992 г.) П. Сарнак высказал предположение о том, что дискретный спектр $\{\lambda_{n}\}$ должен играть фундаментальную роль в теории чисел. В докладе будет рассказано о доказательстве следующей теоремы:

Теорема. Для любого $x\ge 3$ и любого $t$ такого, что
$$ 0<t\le x^{-4}(\ln{x^{p}})^{-2},\quad p\ge 20, $$
имеет место следующее равенство:
$$ \psi(x)\,=\,2\sqrt{\pi}t\sum\limits_{n\ge 0}e^{-tr_{n}^{2}}\sum\limits_{2\le k\le x}k\cos{(2r_{n}\ln{k})}\,+\,R(x),\quad |R(x)|\,\le\,\frac{cx^{2}\sqrt{t}}{(\ln{x})^{2\mathstrut}}\,\le\,\frac{c}{(\ln{x})^{3\mathstrut}}. $$
\emph{В этом равенстве $\psi(x)$ - функция Чебышева; величины $r_{n}$ определяются из условия $\lambda_{n}=r_{n}^{2}+\tfrac{1}{4}$, а $c$ - абсолютная эффективная постоянная.}

Таким образом доказано, что дискретный спектр $\{\lambda_{n}\}$ определяет закон распределения простых чисел.