|
ВИДЕОТЕКА |
Конференция памяти Анатолия Алексеевича Карацубы по теории чисел и приложениям, 2016
|
|||
|
Contribution to the theory of hyperbolic zeta-functions of the lattices [О новых результатах в теории гиперболической дзета-функции решёток] Н. М. Добровольский Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого |
|||
Аннотация: В докладе излагаются результаты совместной работы Н.М. Добровольского и Н.Н. Добровольского “О новых результатах в теории гиперболической дзета-функции решёток”, выполненной при поддержке гранта РФФИ № 15-01-01540а. Гипеболическая дзета -функция решёток задаётся в правой полуплоскости $$ \zeta(\Lambda|\alpha)\,=\,\sum\limits_{\vec{x}\in \Lambda,\;\vec{x}\ne \vec{0}}(\overline{x}_{1}\ldots \overline{x}_{s})^{-\alpha}, $$ где Для гиперболической дзета -функции решётки $$ \zeta_{H}(\Lambda(t,F)|\alpha)\,=\,\frac{2(\det\Lambda(F))^{\alpha}}{R(s-1)!} \biggl(\,\sum\limits_{(w)}|N(w)|^{-\,\alpha}\biggr)\,\frac{\ln^{s-1}{\det\Lambda(t,F)}}{(\det\Lambda(t,F))^{\alpha}}\,+\,O\biggl(\frac{\ln^{s-2}{\det\Lambda(t,F)}}{(\det\Lambda(t,F))^{\alpha}}\biggr), $$ где Обозначим через $$ \zeta_{D_{0}}(\alpha|F)\,=\,\sum\limits_{(\omega)}|N(\omega)|^{-\alpha}. $$ Тогда $$ \zeta_{D_{0}}(\alpha|F)\,=\,\sum\limits_{(\omega)}|N(\omega)|^{-\alpha}\ln{|N(\omega)|}. $$ Теорема. Справедливо асимптотическое равенство: $$ \zeta_{H}(\Lambda(t,F)|\alpha)\,=\,\frac{2(\det\Lambda)^{\alpha}\zeta_{D_{0}}(\alpha|F)}{R}\cdot \frac{\ln{\det\Lambda(t)}}{(\det\Lambda(t))^{\alpha}}\,-\,\frac{2(\det\Lambda)^{\alpha}}{R(\det\Lambda(t))^{\alpha}}\, \bigl(\ln{\det{\Lambda}}\,+\,\zeta_{D_{0}}'(\alpha|F))\,+\,\frac{2(\det{\Lambda})^{\alpha}\zeta_{D_{0}}(\alpha|F)}{(\det{\Lambda(t)})^{\alpha}}\biggl(\theta_{1}(\alpha)\,+\, \frac{\theta_{2}(\alpha)}{\sinh{(\alpha R/2)}}\biggr), $$ \emph{где Доказательство этого утверждения содержится в работе [2]. Анализ приведённых результатов показывает, что в случае квадратичных полей удаётся существенно уточнить асимптотическую формулу для гиперболической дзета-функции алгебраической решётки квадратичного поля. Ясно, что дальнейшие исследования в случае квадратичных полей должны быть направлены на изучение дзета-функции Дедекинда главных идеалов квадратичного поля и её производных. [1] Н.М. Добровольский, В.С. Ванькова, С.Л. Козлова, Гиперболическая дзета-функция алгебраических решёток. Деп. в ВИНИТИ 12.04.90 № 2327-B90. [2] Л.П. Добровольская, М.Н. Добровольский, Н.М. Добровольский, Н.Н. Добровольский, Гиперболические дзета-функции решетки квадратичного поля. Чебышевский сб., 136:4 (2015), 100-149. Язык доклада: английский |