The joint distribution of real conjugate algebraic numbers

Доклад посвящён распределению вещественных алгебраических чисел и корреляциям между сопряжёнными алгебраическими числами.


Степень $\deg(\alpha)$ и высота $H(\alpha)$ алгебраического числа $\alpha$ определяются соответственно как степень и высота его минимального многочлена, т.е. многочлена минимальной степени со взаимно простыми целыми коэффициентами, для которого $\alpha$ является корнем. Высота многочлена есть максимум абсолютных величин его коэффициентов.
Пусть $B\subset\mathbb{R}^k$. Обозначим через $\Phi_k(Q,B)$ число лежащих в $B$ упорядоченных наборов из $k$ различных вещественных сопряжённых алгебраических чисел степени $\leqslant n$ и высоты $\leqslant Q$. Асимптотика $\Phi_1(Q,B)$ при $Q\to\infty$ для произвольных $n$ ранее была найдена в [1]. Для $k\ge 2$ недавно в [2] было доказано асимптотическое равенство:

$$ \Phi_k(Q;B) = \frac{(2Q)^{n+1}}{2\zeta(n+1)} \int\limits_{B} \chi_k(\mathbf{x}) \prod_{1\leqslant i < j \leqslant k} |x_i - x_j|\,d\mathbf{x} + O\left(Q^n\right),\quad Q\to \infty, $$
где функция $\chi_k$ непрерывна в $\mathbb{R}^k$ и может быть явно выписана, $\zeta(\cdot)$ - дзета-функция Римана. Если $n=2$, то в остаточном члене появляется дополнительный множитель $\log Q$.


Доклад основан на результатах [2], полученных докладчиком совместно с Ф.Гётце и Д.Н. Запорожцем.


[1] D. Koleda, On the density function of the distribution of real algebraic numbers. Preprint, arXiv:1405.1627, 2014.


[2] F.Götze, D. Koleda, and D. Zaporozhets, Correlations between real conjugate algebraic numbers. Чебышевский сб., 16:(4) (2015), с. 91–99.