Locally Antipodal Delone Sets

Основная тема сообщения – изложить недавние результаты о так называемых локально антиподальных множествах Делоне в евклидовом пространстве. Пусть $X$ – множество Делоне с параметрами $r$ (радиус упаковки) и $R$ (радиус покрытия). Как известно, одна из основных целей локальной теории правильных систем состоит в отыскании для множества Делоне тех локальных условий, которые гарантируют правильность / кристаллографич-ность этого множества. Множество Делоне $X$ называется правильной системой, если его группа симметрий $G$ действует транзитивно на множестве $X$ (т. е. $X$ есть $G$-орбита одной точки). Множество Делоне $Х$ называется кристаллом, если $X$ есть $G$-орбита некоторого конечного множества. Правильная система является важным частным случаем кристалла. Приведем несколько характерных утверждений из локальной теории (Н. Долбилин, М. Штогрин):


1) На плоскости: любое множество Делоне, в котором все $4R$-кластеры (окрестности) эквивалентны, есть правильная система. 2) В пространстве любой размерности: значение $4R$ не улучшаемо: для любого $\varepsilon$ можно указать множество Делоне $X$, в котором все ($4R-\varepsilon$)- кластеры эквивалентны, но $X$ не является ни правильной системой, ни кристаллом.
3) В $3D$-пространстве: любое множество Делоне, в котором все $10R$-кластеры эквивалентны, есть правильная система.
4) В пространстве любой размерности: имеется верхняя оценка для такого радиуса что идентичность кластеров данного радиуса во множестве Делоне гарантирует его правильность.
Множество Делоне $X$ назовем локально антиподальным, если $2R$-кластер в любой точке $x$ из $X$ центрально симметричен относительно центра $x$ данного кластера. Будут обсуждаться следующие теоремы, которые верны для любой размерности.


Теорема 1. Локально антиподальное множество Делоне антиподально в целом в каждой своей точке (см. [2]).

Теорема 2. Если два локально антиподальных множества Делоне $X$ и $Y$ имеют общую точку $x$ и общий $2R$-кластер в этой точке, то $X$ и $Y$ совпадают в целом (см. [2]).


Теорема 3. Локально антиподальное множество Делоне есть объединение не более $2^{d}-1$ попарно конгруэнтных и параллельных решеток (см. [2]).

Теорема 4. Локально антиподальное множество Делоне с попарно эквивалентными $2R$-кластерами есть правильная система (см. [1], [2]).

Заметим, что теоремы 1 и 4 можно использовать, в частности, для более простого получения оценки $10R$, упомянутой в п. 3). Интересно сравнить теорему 4 и п. 2) о существовании неправильных множеств с попарно эквивалентными ($4R-\varepsilon$)-кластерами. Найденные примеры нерегулярных множеств с эквивалентными ($4R-\varepsilon$)-кластерами не являются локально антиподальными. Это обстоятельство согласуется с теоремой 4.

[1] Н.П. Долбилин, Критерий для кристалла и локально антиподальные множества Делоне, Труды Международной конференции “Квантовая топология”, Вестник Чел. ГУ, 3(358) (2015), 6-17.

[2] Н.П. Долбилин, A.Н. Магазинов, “Локально антиподальные множества Делоне”, УМН, 70:5(425) (2015), 179–180.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 14-11-00414).