От диаграмм Вороного до топологии геометрических 3-мерных многообразий

Понятие простого полиэдра (напомним, что окрестности вершин простого полиэдра гомеоморфны стандартной «бабочке с 6 крыльями», а все его ребра — тройные линии) возникло в работах Б. Каслера по трехмерной топологии. Простой полиэдр $P$, лежащий в 3-многообразии $M$, называется его простым спайном, если проколотое в одной точке многообразие $M$ ретрагируется на $P$; спайны — полезный инструмент в алгоритмической топологии.
Cut locus риманова многообразия $M$ по отношению к его точке $x$ (т.е. замыкание множества точек $y$, для которых кратчайшая геодезическая в $M$, ведущая из $y$ в $x$, не единственна) — стандартный объект, изучаемый в дифференциальнои геометрии.
Диаграммы Вороного — классический инструмент и объект изучения в вычислительной геометрии.
Простой полиэдр, «типичный» cut locus в трехмерном многообразии и «типичная» диаграмма Вороного имеют одинаковое локальное устройство. Это нехитрое наблюдение дает возможность применять идеи и методы геометрии и теории особенностей к изучению топологическикх вопросов о спайнах трехмерных многообразий. По ходу дела появляются неожиданные комбинаторные результаты.