Characters sums with additive convolutions

Пусть $\chi(x)$ — нетривиальный мультипликативный характер по простому модулю $p$, a $A,B$ — произвольные подмножества $\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$ такие, что $|A+A| \le K|A|$, где $K \ge 1$ — некоторая константа и $|A|,|B|> p^{\,4/9+\varepsilon}$, $\varepsilon>0$ — любое.

М.-Ч. Чанг получила нетривиальную оценку для суммы
$$ \biggl|\sum_{a\in A,\, b\in B} \chi(a+b)\,\ll_{K,\varepsilon}\,|A||B|\cdot p^{-\tau(K,\varepsilon)}, \qquad (1) $$
где $\tau(K,\varepsilon)>0$.

Недавно Б. Хансон рассмотрел аналог суммы (1) для трех множеств $A,B,C$ безо всяких ограничений на сумму множеств с собой, а именно, он доказал, что если $|A|,|B|, |C| > \delta \sqrt{p}$, где $\delta>0$, то
$$ \biggl|\sum_{a\in A,\, b\in B,\, c\in C} \chi(a+b+c)\biggr|\,=\, o_{\delta}\bigl(|A||B||C|\bigr). \qquad (2) $$


Используя лемму о почти-периодичности Крута–Сисаска, а также новые результаты о суммах произведений, мы улучшаем обе теоремы (1), (2).