The influence of singularities in the problem of the exponent of convergence in multidimensional Tarry's problem

В многомерном анализе многие вопросы теории тригонометрических интегралов приводят к исследованию особых точек некоторых отображений. Они имеют решающее значение при изучении асимптотики осциллирующих интегралов. Влияние особенностей может меняться в зависимости от характера задачи, связанной с тригонометрическими интегралами. В настоящей работе мы показываем, что особенности отображений, возникающих в задаче о показателе сходимости особого интеграла проблемы Терри, и определяемых одночленами рассматриваемых многочленов, в отличии от случая асимптотики осциллирующих интегралов, не оказывают существенное влияние на поведение показателя сходимости особого интеграла многомерной проблемы Терри.
Пусть многочлен $F(\bar{x})$ определен равенством
$$ F(\bar{x})=\sum _{j=1}^{N}\alpha _{j} \gamma _{j} (\bar{x}) ;\; \bar{x}=(x_{1} ,x_{2} ,...,x_{r} )\quad(1) $$
где $\gamma _{j} (\bar{x})=x_{1}^{k_{1j} } x_{2}^{k_{2j} } \cdots x_{r}^{k_{rj} } $ одночлены степени $k\left(j\right)=k_{1j} +\cdots +k_{rj} $ является многочленом без свободных членов, т. е. $k_{1j} +k_{2j} +\cdots +k_{rj} >0,k_{ij} \ge 0$, при всех $j=1,...,N$. Под особым интегралом многомерной проблемы Терри понимается интеграл
$$ \theta _{k} =\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }\left|\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}e^{2\pi iF(\bar{x})} d\bar{x} \right|^{2k} d\alpha _{1} d\alpha _{2} \cdots d\alpha _{N} $$

Теорема. Пусть многочлен имеет вид (1) и не представляется в виде суммы двух многочленов от меньшего числа переменных без общих компонент, его старшая форма содержит все $r$ независимые переменные и матрица показателей
$$ \left(
\begin{array}{ccccc} {k_{11}} & {k_{12}} & {\cdots } & {k_{1r}} \\ {k_{21}} & {k_{22}} & {\cdots } & {k_{2r}} \\ {\vdots } & {\vdots } & {\ddots } & {\vdots } \\ {k_{N1}} & {k_{N2}} & {\cdots } & {k_{Nr}} \end{array}
\right) $$
имеет ранг $\rho $, $1\le \rho \le r$. Тогда особый интеграл многомерной проблемы Терри $\theta _{k} $ сходится при натуральном $k$ таком, что $k\rho \ge N$ и
$$ 2kr>r+\sum _{j=1}^{N}\sum _{i=1}^{r}k_{ji} . $$