Навстречу глобальной теории бифуркаций на плоскости

В докладе намечается новая перспектива глобальной теории бифуркаций на плоскости. Теория бифуркаций на плоскости состоит из трех частей: локальной, нелокальной и глобальной. Сейчас стало ясно, что последнюю часть еще предстоит создать.
Теория локальных бифуркаций (мы говорим только о бифуркациях на плоскости) изучает перестройки фазовых портретов вблизи особых точек. Эта теория почти полностью закончена, хотя недавно возникли новые открытые проблемы. Нелокальная теория связана с бифуркациями сепаратрисных многоугольников (полициклов). Хотя за последние 30 лет в ней получено много новых результатов, она еще далека от завершения.
Недавно обнаружилось, что нелокальная теория содержит еще одну существенную часть: глобальные бифуркации. Новые эффекты в этой теории возникают из-за появления так называемых мелькающих сепаратрисных связок. Цель доклада – обрисовать контуры новой теории и сформулировать многочисленные открытые проблемы. Основные новые результаты – существование открытого множества структурно неустойчивых семейств векторных полей на плоскости, а также семейств, имеющих функциональный инвариант (совместные результаты с Кудряшовым и Щуровым).
Тридцать лет назад Арнольд сформулировал шесть гипотез, которые намечали будущее развитие глобальной теории бифуркаций. Сейчас все шесть гипотез опровергнуты. Хотя теория и развивается в совершенно ином направлении, ее развитие мотивировано гипотезами Арнольда.