Полиномиальная энергия подгруппы и одно ее приложение

Мы планируем доказать оценку числа точек кривой $P(x,y)=0,$ лежащих в подгруппе $F^{*}_{p},$ и ее усредненный вариант. С помощью этих результатов мы оцениваем величину $E_p(G)$, равную числу решений уравнения $P(x,y)=P(z,t),$ принадлежащих подгруппе $G,$ которую мы называем полиномиальной энергией подгруппы $G.$ А также мы планируем получить нижнюю оценку величины $|P(G,G)|$ для однородных полиномов $P(x,y).$