Аннотация:
Пусть $(M, \omega)$ — компактное односвязное симплектическое многообразие
с целочисленной симплектической формой. В Геометрическом квантовании
важную роль играют данные предквантования $(L, a)$ — эрмитово линейное
расслоение $L$ с первым классом Черна $c_1(L) = [\omega]$ и эрмитова
связность $a$ на нем, кривизна которой $F_a = 2 \pi \omega$.
В стандартных подходах используется пространство $\Gamma (M, L)$ гладких
сечений $L$, а в лагранжевом подходе, возникшем после работ А. Тюрина и А.
Городецева о многообразиях модулей бор–зоммерфельдовых лагранжевых
циклов,
данные предквантования позволяют ввести условия Бора–Зоммерфельда на
лагранжевы подмногообразия. Оказывается, эти подходы можно связать
введением понятия специальных бор–зоммерфельдовых лагранжевых циклов.
В результате получается бесконечномерное кэлерово многообразие, не зависящее
по построению ни от каких иных данных, кроме данных предквантования.
Особенно интересным оказывается это условие в рамках алгебраической
геометрии. В этом случае специальная геометрия Бора–Зоммерфельда
предлагает конструкцию "лагранжевых теней" для обильных дивизоров на
алгебраических многообразиях. Например, если $M = Q$ — двумерная
комплексная квадрика, то неприводимый дивизор, имеющий тип (1,1)
относительно стандартных образующих в группе $H^2(Q, Z)$, "отбрасывает"
лагранжеву тень, гамильтоново эквивалентную антидиагональной лагранжевой
сфере; при этом приводимый дивизор из той же линейной системы лагранжевой
тени не имеет.
Доклад основан на препринтах arXiv: 1508.0684, 1601.05974.
|
