Аннотация:
В книге А.Г.Хованского [Топологическая Теория Галуа (2008)]
исследуется представимость в квадратурах аналитической функции $f(z)$ одного комплексного переменного.
Даже для простых примеров аналитических функций множество точек ветвления $A$ может оказаться счетным всюду плотным подмножеством на сфере Римана $S^2$. Для таких функций фундаментальная группа $\Gamma = \pi_1(S^2 \setminus A;a)$ оказывается континуально порожденной, задача о разрешимости группы монодромии $\tau(\Gamma)$ представляется сложной.
(Группа монодромии – это образ группы $\Gamma$ в группе перестановок листов над отмеченной регулярной точкой $a \in S^2 \setminus A$). Условие дискретности группы монодромии $\tau(\Gamma)$ переформулируется в более удобных терминах. Вводится понятие монодромной пары $(\Gamma, \Gamma_a)$
(подгруппа $\Gamma_a \subset \Gamma$ оставляет неподвижной отмеченный лист над отмеченной точкой $a$). Вводится понятие почти нормальности для монодромной пары. Доказывается, что группа монодромии $\tau(\Gamma)$ дискретна, когда монодромная пара $(\Gamma, \Gamma_a)$ является почти нормальной.
Задача о разрешимости группы монодромии решается в предположении почти нормальности этой монодромной пары.
Пусть $B \subset A$–конечное подмножество. Определим монодромную пару $(\pi_1(S^2\setminus B;a),\pi_a)$ таким способом, что определена естественная проекция $(\Gamma,\Gamma_a) \to (\pi_1(S^2\setminus B;a),\pi_a)$ и некоторое специальное расщепляющее эту проекцию включение $(\pi_1(S^2\setminus B;a),\pi_a) \subset (\Gamma,\Gamma_a)$. Группа $(\pi_1(S^2\setminus B;a)$ имеет конечное число образующих, разрешимость монодромной пары $(\pi_1(S^2\setminus B;a),\pi_a$ и, следовательно, группы монодромии $\tau(\pi_1(S^2\setminus B;a)$
проверить проще.
[Теорема]
Монодромная пара $(\Gamma, \Gamma_a)$ изоморфна прямому пределу конечно-представленных монодромных пар, построенных по включениям фундаментальных групп $\pi_1(S^2\setminus B_i;a) \subset \pi_1(S^2 \setminus B_j;a), B_i \subset B_j$, каждая подгруппа вкладывается на прямой сомножитель.
Замечание.
Аналогичным образом можно было бы поступить для функции двух переменных. На этот случай обобщить Теорему невозможно. Обсудим пример регулярного накрытия над областью $\Omega$ в $C^2$, для которого пополнение группы монодромии содержит коммутатор бесконечной длины.
|
