Аннотация:
Гиперкэлерово многообразие – это риманново многообразие с тройкой
согласованных с метрикой комплексных структур, удовлетворяющих
кватернионным соотношениям, кэлеровы формы которых замкнуты. Согласно
теореме Богомолова любое компактное гиперкэлерово многообразие
накрывается произведением торов и простых (т.е. с группой голономии
ровно Sp(n)) гиперкэлеровых многообразий. Собственно примеров простых
гиперкэлеровых многообразий известно очень мало – в размерностях
больших 4 это две серии (схемы Гильберта от K3 и обобщённое
многообразие Куммера) и два спорадических примера О'Грэди. Гипотеза
Бовилля утверждает, что в каждой размерности с точностью до деформации
простых гиперкэлеровых многообразий конечное число. В более слабой
формулировке гипотеза утверждает, что все числа Бетти ограниченны. В
случае комплексной размерности четыре это доказал Гуан. Я расскажу про
обобщения его результатов в больших размерностях. В частности, про
неравенства на числа Бетти, следующие из инвариантов
Розанского-Виттена.
Во второй части доклада я расскажу про абсолютно трианалитические
подмногообразия (т.е. комплексно-аналитические относительно любой
тройки комплексных структур из твисторного семейства). Ранее в работах
Вербицкого, Каледина и Солдатенкова было доказано, что в схемах
Гильберта от K3 и многообразиях О'Грэди нет нетривиальных абсолютно
трианалитических подмногообразий, в частности торов. В случае
обобщённых многообразий Куммера есть пример абсолютно
трианалитического подмногообразия, деформационно эквивалентного схеме
Гильберта от K3 в два раза меньшей размерности, но других примеров
неизвестно. В своём докладе я расскажу, почему в обобщённых
многообразиях Куммера также нет торов.
|
