Аннотация:
Ю. Авишаи, Д. Беренд и В. Ткаченко показали, что изучение коэффициентов
отражения и прохождения плоской волны с заданным импульсом в поле
кристаллической решетки, узлы которой образуют цепь Тью-Морса, приводит к
рассмотрению отображения, топологически сопряженного с отображением
$F_2(x,y)=(xy,(x-2)^2),$
где $(x;y)$ – произвольная точка плоскости.
В настоящей работе для отображения $F_2$ доказано существование инвариантной локальной
ламинации коразмерности один в некотором инвариантном неограниченном подмножестве плоскости.
Выделено подмножество плоскости, состоящее из блуждающих точек отображения $F_2$.
На гипотенузе $h_2$ инвариантного треугольника $\Delta_2=\{(x;y): x\geq 0, y\geq 0, x+y\leq 4\}$
установлено существование множества, гомеоморфного канторову дисконтинууму, в котором всюду плотны седловые периодические точки отображения $F_2$, являющиеся источниками относительно сужения $F_2|_{h_2}$; более того, источники $F_2|_{h_2}$ всюду плотны на $h_2.$
Существование данного множества
приводит к следующему эффекту: во множестве слоев локальной ламинации всюду плотны слои, траектории точек которых притягиваются к указанному множеству, гомеоморфному канторову дисконтинууму, и всюду плотны слои, траектории точек которых уходят в $+\infty$ как по координате $x$, так и по координате $y$.
Результаты данной работы дают отрицательный ответ на вопрос А. Н. Шарковского (сформулированный на конференции по низкоразмерностной динамике в 1993) о существовании неограниченных $\omega$ – предельных множеств траекторий отображения $F_2$.
|
