Аннотация:
Рассматривается однопараметрическое семейство гамильтоновых систем на
коалгебре $e(3)^*$ со стандартной скобкой Ли–Пуассона, задаваемое
гамильтонианом
$$
H=\frac12\left(s_1^2+s_2+2s_3^2+c(r_1^2-r_2^2)+\frac{b}{r_3^2}\right).
$$
В предположении равенства нулю интеграла площадей эти системы,
ограниченные на поверхность уровня функций Казимира, имеют две степени
свободы и интегрируются при помощи дополнительного интеграла
$$
K=\left(s_1^2+s_2^2+\frac{b}{r_3^2}\right)^2+2cr_3^2(s_1^2-s_2^2)+c^2r_3^4.
$$
Частный случай $b=0$ был рассмотрен С.А. Чаплыгиным (1903), изучавшим
движение твёрдого тела в идеальной несжимаемой жидкости. Обобщение этого
случая ($b\neq 0$) было найдено Д.Н. Горячевым (1916).
При $b\geq 0$ с помощью инвариантов Фоменко–Цишанга и
Болсинова–Фоменко получена лиувиллева и частично траекторная
классификация рассматриваемых систем. Оказалось, что неособые слоения
Лиувилля в случае Чаплыгина ($b=0$) устроены точно так же, как и в
знаменитом случае Эйлера. Более того, на определённых уровнях энергии
имеются также топологические траекторные изоморфизмы между этими двумя
системами. При $b>0$ системы Горячева оказываются лиувиллево
эквивалентными многим классическим интегрируемым системам, в частности,
случаю Жуковского в динамике твёрдого тела, а также некоторым
интегрируемым биллиардам.
Случай $b<0$ является наиболее интересным: здесь все слои слоения
Лиувилля некомпактны. И хотя формально теория Фоменко–Цишанга в этом
случае неприменима, тем не менее соответствующее слоение Лиувилля
по-прежнему допускает описание в терминах инварианта Фоменко (молекулы).
В этом контексте интересной задачей представляется построение
некомпактного аналога теории Фоменко–Цишанга. В этом направлении был
сделан первый шаг, а именно, рассмотрен случай систем с одной степенью
свободы. Оказалось, что в некоторых предположениях некомпактные слоения
Лиувилля для таких систем допускают описание в терминах атомов и
молекул, аналогичное компактному случаю.
|
