Эллиптические гипергеометрические функции и их приложения

Я кратко напомню классические результаты Эйлера по обычным и $q$-гипергеометрическим функциям. Затем приведу представление эллиптических функций в виде отношения произведений тэта-функций Якоби. Этот справочный материал необходимым для описания эллиптических гипергеометрических функций, появление которых на рубеже 2000 г. явилось полным сюрпризом, т.к. считалось, что специальные функции гипергеометрического типа с “классическими” свойствами существуют только в двух ипостасях — обычном и его $q$-аналоге. Трансцендентные эллиптические гипергеометрические функции определяются интегральным представлением, описание которого будет дано следуя идеям Похгаммера-Хорна. Это приведет к “эллиптическим” обобщениям гамма-функции, бета-интеграла, гипергеметрической функции Эйлера-Гаусса, гипергеометрического уравнения, интеграла Сельберга и других специальных функций.
Как положено специальным функциям математической физики, эллиптические гипергеометрические интегралы нашли важные приложения в теоретической физике. В частности, они описывают собственные функции гамильтонианов некоторых интегрируемых $N$-частичных систем квантовой механики. В четырехмерной квантовой теории поля они определяют суперконформные индексы суперсимметричных теорий, а их свойства дают наиболее строгое математическое подтверждение гипотезы дуальности Зайберга для ряда суперконформных теорий поля. В статистическое механике, те же самые интегралы описывают наиболее общие известные решаемые модели на двумерных решетках и наиболее сложные решения уравнения Янга-Бакстера. Этот материал будет описан в докладе на качественном уровне.

Список литературы

1. В.П. Спиридонов, “Очерки теории эллиптических гипергеометрических функций”, УМН, 63:3 (2008), 3–72        
2. В.П. Спиридонов, “Эллиптические гипергеометрические функции”, дополнительная глава в книге Р. Аски, Р. Рой, Дж. Эндрюс, Специальные функции, МЦНМО, Москва, 2013, 577–606