Аннотация:
Пусть $\mathbf X^{(1)},\ldots \mathbf X^{(m)}$ набор независимых $n\times n$ случайных матриц с независимыми одинаково распределенными элементами $X_{j,k}^{(i)}$, где $i=1,\ldots,m$, $j,k=1,\ldots,n$. Будем считать, что $\mathbb E X_{jk}^{(i)}=0$ и $\mathbb E |X_{jk}^{(i)}|^2=1$. Рассмотрим матрицу $\mathbf W=\frac1{n^{m/2}}\prod_{i=1}^m\mathbf X^{(i)}$. Пусть $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ - собственные числа матрицы $\mathbf W$ и $\mu_n(\cdots)$ означает соответствующую эмпирическую спектральную меру, т.е.
$
\mu_n(B)=\frac1n\#\{j:\lambda_j\in B\},
$
для любого борелевского множества $B\subset \mathbb C$.
В работе Гётце и Тихомирова 2010 года (Friedrich Götze, Alexander Tikhomirov
"On the Asymptotic Spectrum of Products of Independent Random Matrices", arXiv:1012.2710)
было показано, что при сделанных предположениях предельная мера $\mu(\cdot)$ для эмпирических спектральных мер $\mu_n(\cdot)$ в смысле слабой сходимости при $n\to\infty$ имеет плотность, определяемую равенством
$
p(x,y)=\frac1{m\pi}(x^2+y^2)^{-\frac{m-1}m}\mathbb I\{x^2+y^2\le 1\}
$
для $z=x+iy$. Здесь $\mathbb I\{A\}$ означает индикатор множества $A$.
В недавней работе Юрия Немиша (Yu. Nemish,
"Local law for the product of independent non-Hermitian matrices with independent entries", arXiv:1512.03117), был доказан локальный закон для произведения случайных матриц в предположении, что распределение случайных элементов матриц имеют так называемые экспоненциальные "хвосты".
Мы обобщим это результат на случай матриц, элементы которых имеют лишь $4+\varepsilon$ моментов при некотором сколь угодно малом положительном $\varepsilon$.
|
