Гипотеза кузнечных мехов в неевклидовых пространствах

Классическая гипотеза кузнечных мехов состоит в том, что объём любого изгибаемого многогранника в трёхмерном евклидовом пространстве постоянен в процессе изгибания. Эта гипотеза была доказана И.Х.Сабитовым в 1996 году. Естественно рассматривать такую же гипотезу для изгибаемых многогранников в евклидовых пространствах старших размерностей, а также в неевклидовых пространствах постоянной кривизны: сферах и пространствах Лобачевского размерностей $3$ и выше. В евклидовых пространствах размерностей $4$ и выше гипотеза кузнечных мехов была доказана докладчиком в 2012 году. Известно, что гипотеза кузнечных мехов неверна для сферических многогранников: первый контрпример в размерности $3$ был построен В.А.Александровым (1997), контрпримеры в размерностях $4$ и выше - докладчиком (2015). В настоящем докладе планируется рассказать основные идеи доказательства гипотезы кузнечных мехов для ограниченных изгибаемых многогранников в нечётномерных пространствах Лобачевского и для всех изгибаемых многогранников с достаточно малыми длинами рёбер во всех пространствах постоянной кривизны всех размерностей. Доказательства основаны на изучении аналитических продолжений функций объёма многогранников.