Аннотация:
Впервые модулярные функции для доказательства результатов о
трансцендентности чисел были использованы в 1935 г. в совместной
работе К. Малера и Я. Попкена для доказательства трансцендентности
по крайней мере одного из значений рядов Эйзенштейна $E_{2}(\tau),
E_{4}(\tau), E_{6}(\tau)$ при любом комплексном $\tau$ из верхней
комплексной полуплоскости. Тогда же Малер сформулировал гипотезу о
трансцендентности при любом $\tau$, $\Im\tau>0,$ хотя бы одного из
чисел $e^{2\pi i\tau}$ и $j(\tau)$. В 1937 г. Т. Шнейдер доказал
трансцендентность значений модулярного инварианта $j(\tau)$ во всех
алгебраических точках $\tau$, $\Im\tau>0$ степени большей $2$. Шнейдер в
доказательстве этой теоремы использовал свойства эллиптических
функций Вейерштрасса, но ему казалось противоестественным доказывать
таким способом утверждение о трансцендентности значений модулярной
функции и он сформулировал задачу найти модулярное доказательство
этой теоремы. Намного позже в 1995 г. французские математики К. Баре,
Г. Диас, А. Гремейн и Ж. Филибер в попытках найти решение проблемы
Шнейдера доказали гипотезу Малера, а докладчик доказал, что среди
значений трёх указанных рядов Эйзенштейна и экспоненциальной функции
в одной точке, всегда найдётся не менее трёх алгебраически
независимых чисел. Отсюда последовало утверждение об алгебраической
независимости чисел $\pi$ и $e^{\pi}$, а также ряд интересных
следствий о других числах. В настоящее время модулярное
доказательство теоремы Шнейдера всё ещё не найдено. Не найдено также
доказательство полной гипотезы Малера -Манина о значениях модулярного
инварианта и экспоненциальной функции $a^{\tau}$ при алгебраическом
$a\neq 0,\, 1$.
В докладе будет рассказано об упомянутых здесь и других доказанных
результатах, о попытках использования других модулярных и
квазимодулярных функций, о дальнейших продвижениях в этой области
теории чисел.
