Approximation of the zeta function via finite Euler products

Рассмотрим конечное эйлерово произведение
$$ \zeta_{m}(s)\,=\,\prod_{k=1}^{m}(1-p_k^{-s})^{-1}, $$
где $p_1,\,\dots,\,p_m$ – начальные простые числа, и конечную кси-функцию $\xi_{m}(s)=g(s)\zeta_{m}(s)$, где
$$ g(s)\,=\,\pi^{-\frac{s}{2}}(s-1)\Gamma\bigl({s}/{2}+1\bigr) $$
– сомножитель из функционального уравнения. Модифицированная симметризованная конечная кси-функция
$$ \xi^{ :=}_{{m}}(s) \! =\!s^m(1\!-\!s)^m\big(\xi_{m}(s)\!+\!\xi_{m}(1-s)\big) $$
тривиальным образом удовлетворяет функциональному уравнению $\xi^{ :=}_{{m}}(s)=\xi^{ :=}_{{m}}(1-s)$. Все полюса $q_1,\,q_2,\dots$ этой функции являются простыми; пусть $r_1,\,r_2,\dots$ – это соответствующие им вычеты, так что разность
$$ \xi^{ :\text{reg}=}_{{m}}(s)\,=\,\xi^{ :=}_{{m}}(s)-\sum_{k=1}^\infty r_k/(s-q_k) $$
является регулярной частью функции $\xi^{ :=}_{{m}}(s)$. Регуляризированное конечное эйлерово произведение
$$ \zeta^{\approx}_{{m}}(s)\,=\,\xi^{ :\text{reg}=}_{{m}}(s)/\big( s^m(1-s)^m g(s)\big) $$
даёт удивительно хорошие приближения к значениям и нулям дзета-функции.
Пример 1. Наименьший по абсолютной величине невещественный нуль функции $\zeta^{\approx}_{{1}}(s)$ (определённой посредством всего одного эйлерова сомножителя $(1-2^{-s})^{-1}$) отличается от наименьшего нетривиального нуля дзета-функции менее чем на $10^{-6}$.
Пример 2. Первые три эйлеровых сомножителя позволяют вычислить более 30 верных десятичных знаков $\zeta(1/2+100i)$.
Другие примеры см. на:
http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat/personaljournal/
eulereverywhere.