Аннотация:
Однозначная динамика с дискретным на множестве $S$ — это просто отображение $T\colon S\to S$. Динамика $T$ обратима, если каждый элемент множества $S$ имеет ровно один прообраз при отображении $T$. Каждая обратимая динамика может быть проинтегрирована при помощи бесконечной циклической группы. Это означает, что существует действие циклической группы на множестве $S$ такое, что действие образующей задает динамику $T$. Доклад будет посвящен аналогу этого (тривиального) утверждения для $m$-значных динамик.
Под $m$-значной динамикой с дискретным временем понимается отображение из множества $S$ в его $m$-ую симметрическую степень $(S)^m$. Понятие m-значной группы было введено В. М. Бухштабером в начале 1990-х годов: $m$-значная группа — это множество $A$ с умножением $\mu\colon A\times A\to(A)^m$, удовлетворяющим естественным обобщениям аксиом ассоциативной группы. Аналогами циклических групп являются однопорожденные $m$-значные группы, т.е. такие, все элементы которых содержатся в степенях некоторого выделенного элемента. В отличие от циклических групп, в многозначном случае существует очень много однопорожденных m-значных групп (их классификация неизвестна).
В докладе будет рассказано о (частично совместных) результатах В. М. Бухштабера, П. В. Ягодовского и докладчика об интегрируемости m-значных динамик при помощи однопорожденных $m$-значных групп. Самым сильным результатом в этом направлении является на данный момент теорема П. В. Ягодовского и докладчика об интегрируемости m-значных динамик, при которых каждая точка имеет ровно $m$ прообразов с учетом кратностей. При $m>1$ неизвестно, является ли это достаточное условие интегрируемости необходимым. Особо будет рассмотрена естественная $(n+1)$-значная динамика на множестве $n$-мерных симплексов $n$-мерного триангулированного многообразия. Большое внимание планируется уделить примерам $m$-значных динамик и интегрирующих их $m$-значных групп.
|
