Представления колчанов. Занятие 4

Колчан – это просто ориентированный граф. Говорят, что задано представление колчана, если каждой вершине графа поставлено в соответствие линейное пространство, а каждому ребру – линейное отображение между соответствующими пространствами. Представления колчанов оказываются связанными с самыми разными областями математики – теорией представлений, гомологической алгеброй, алгебраической геометрией и т.д.
Естественная задача – классифицировать представления данного колчана. С этим связана теорема Габриэля, описывающая колчаны, чьи представления допускают наиболее простую классификацию. Это – колчаны, соответствующие диаграммам Дынкина без кратных ребер, диаграммы Дынкина встречаются в самых разных областях математики – теории алгебр Ли, теории особенностей и т.д.
Я сформулирую теорему Габриэля на первом занятии, здесь же укажу два частных случая:

• Три прямые на плоскости, проходящие через одну точку, можно перевести в любые другие аффинным преобразованием. Для четырех прямых это не верно – имеется инвариант.
• Классификация линейных отображений из одного векторного пространства в другое устроена очень просто – единственный инвариант – это ранг отображения. Классификация линейных отображений из линейного пространства в себя значительно сложнее – например, инвариантами являются собственные значения.